Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: =x ^2 + 2, = 2x + 2

Answer 1

Ответ: $\frac{4}{3}$

Пошаговое объяснение:

Воспользуемся интегралами для решения данной задачи. Если просто решить уравнения, то получим, что ограниченная область лежит на отрезке x ∈ [0,2]. У параболы и у прямой никаких выколотых точек и других проблем там нет => можем брать определенный интеграл. Определять площадь фигуры будем определять через разность двух определенных интегралов:

Площадь под параболой определим через этот интеграл( пусть будет S1):

$\int\limits^2_0 {(x^{2} + 2)} \, dx$  

S1 = $\frac{20}{3}$

Теперь посчитаем площадь под прямой и назовем ее S2(можно делать и трапецией)

$\int\limits^2_0 {2x+2} \, dx$

S2 = 8;

Теперь вычтем из S2, S1 и получим площадь фигуры S:

S = S2 -S1 = $\frac{4}{3}$

(Если нужно, первообразная параболы будет x^3/3 + 2x, а первообразная прямой x^2 + 2x)

Answer 2

Ответ:

===================================

Пошаговое объяснение:

Answer 3

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, необходимо определить точки их пересечения.

Первая линия задана уравнением y = x^2 + 2. Вторая линия задана уравнением y = 2x + 2.

Для определения точек пересечения, приравняем два уравнения друг к другу:

x^2 + 2 = 2x + 2

Перенесем все в одну сторону:

x^2 - 2x = 0

Факторизуем левую часть:

x(x - 2) = 0

Отсюда получаем два возможных значения x: x = 0 и x = 2.

Для нахождения соответствующих значений y, подставим найденные значения x в уравнения линий:

Для x = 0: y = 0^2 + 2 = 2

Для x = 2: y = 2^2 + 2 = 6

Таким образом, получаем две точки пересечения: (0, 2) и (2, 6).

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, необходимо вычислить интеграл от разности этих линий по переменной x в пределах от x = 0 до x = 2:

S = ∫[0,2] [(x^2 + 2) - (2x + 2)] dx

Раскрываем скобки и упрощаем:

S = ∫[0,2] (x^2 - 2x) dx

S = [(1/3)x^3 - x^2] |_0^2

Вычисляем значения в пределах от 0 до 2:

S = [(1/3)(2)^3 - (2)^2] - [(1/3)(0)^3 - (0)^2]

S = [(8/3) - 4] - [0 - 0]

S = (8/3) - 4

S = 8/3 - 12/3

S = -4/3

Площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, равна -4/3 (или -1.33, округленно до двух знаков после запятой). Обратите внимание, что полученное значение отрицательное, что указывает на то, что фигура находится ниже оси x и имеет отрицательную площадь.