Question

Помогите найти предел, пожалуйста. lim x->∞ (x^4+11*x^2) / (33x-2*x^4)

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

$\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^4+11x^2}{33x-2x^4}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{x^4\left(1+\dfrac{11}{x^2}\right)}{x^4\left(\dfrac{33}{x^3}-2\right)}=\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1+\dfrac{11}{x^2}}{\dfrac{33}{x^3}-2}=\dfrac{1+\dfrac{11}{\infty^2}}{\dfrac{33}{\infty^3}-2}=\dfrac{1+0}{0-2}=-\dfrac{1}{2}$

Answer 2

Давайте найдем предел данной функции по x, когда x стремится к бесконечности:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^4 + 11x^2}}{{33x - 2x^4}}$

Для нахождения предела можно применить правило Лопиталя для бесконечностей. Это правило позволяет находить предел отношения двух функций, когда обе функции стремятся к бесконечности или к нулю. Производная верхней и нижней функций будет в этом случае удобнее анализировать.

Производная верхней функции (числитель): $\frac{d}{dx} (x^4 + 11x^2) = 4x^3 + 22x$

Производная нижней функции (знаменатель): $\frac{d}{dx} (33x - 2x^4) = 33 - 8x^3$

Теперь мы можем рассмотреть предел производных при $x \to \infty$:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{4x^3 + 22x}}{{33 - 8x^3}}$

Обратите внимание, что степени $x$ в знаменателе выше, чем в числителе, и это означает, что $x$ при больших значениях будет доминировать в знаменателе. Таким образом, при $x \to \infty$ знаменатель будет стремиться к бесконечности быстрее, чем числитель.

Это означает, что предел отношения будет равен $0$:

$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{4x^3 + 22x}}{{33 - 8x^3}} = 0$

Итак, $\lim_{{x \to \infty}} \frac{{x^4 + 11x^2}}{{33x - 2x^4}} = 0$.