Question

ПОМОГИТЕ С ПРИМЕРОМ Найдите площадь фигуры, ограниченной линиямиy=2-x^2 и y=1

Answer 1

Решение:

Приравняем функции и решим полученное квадратное уравнение:

$2-x^2=1 \\ \\ -x^2=-1 \\ \\ x=\pm \sqrt{1} \\ \\ x=\pm 1$

По формуле Ньютона-Лейбница найдём площадь нашей фигуры:

$\int\limits^1_{-1} (2-x^2-1) \, dx = \int\limits 1 \, dx - \int\limits x^2 \, dx = \\ \\ \Big(x -\dfrac{{x}^{3}}{3}\Big)|^1_{-1}=1-\dfrac{1}{3}-\Big(-1+\dfrac{1}{3}\Big)=\dfrac{4}{3}=1\dfrac{1}{3}$

Ответ: $\sf S=1\dfrac{1}{3}$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной двумя функциями, необходимо найти точки их пересечения и затем использовать интеграл для вычисления площади между этими функциями.

Для начала найдем точки пересечения:

Уравнение 1: y = 2 - x^2 Уравнение 2: y = 1

Подставим y из уравнения 2 в уравнение 1 и решим для x:

1 = 2 - x^2 x^2 = 2 - 1 x^2 = 1 x = ±1

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся при x = -1 и x = 1.

Чтобы найти площадь между кривыми, мы будем интегрировать разницу функций по переменной x от -1 до 1:

Площадь = ∫[от -1 до 1] (2 - x^2 - 1) dx

Посчитаем интеграл:

Площадь = ∫[от -1 до 1] (1 - x^2) dx Площадь = [x - (x^3)/3] от -1 до 1 Площадь = (1 - 1/3) - ((-1) - (-1/3)) Площадь = 2/3 + 2/3 Площадь = 4/3

Итак, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 2 - x^2 и y = 1, равна 4/3 квадратных единиц.