Question

Срочно!Нужна помощь с решением по математике,10-11 класс Даю 70 баллов! 1. Найдите производные функций: а) f(x) = 5х4 + 3х2 – 8х – 9; б) g(x) = ; в) q(x) = ; г) u(x) = sin 5x 2. Найдите угол между касательной к графику функции f(x)= в точке х0=2 и осью ОХ. 3. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = x2-1 в точке х0=-1.

Answer 1

1.

$1) f'(x)=(5x^4+3x^2-8x-9)'=5(x^4)'+3(x^2)'-8(x)'-9'=5\cdot4x^3+3\cdot2x-8\cdot1-0=20x^3+6x-8.$

$2)g'(x)=(\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x})'=(x^{-1}\cdot x^{1/2})'=(x^{-1+1/2})'=(x^{-1/2})'=-\frac{1}{2}x^{-1/2-1}=-\frac{1}{2}x^{-3/2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{x^3}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}$

Отмечу, что можно было найти производную и по-другому, банально использовав правило дифференцирования произведения:

$(\frac{1}{x}\cdot\sqrt{x})'=(\frac{1}{x})'\cdot\sqrt{x}+(\sqrt{x})\cdot\frac{1}{x}=-\frac{1}{x^2}\cdot\sqrt{x}+\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{x}=-\frac{\sqrt{x}}{x^2}+\frac{\sqrt{x}}{2x\cdot x}=\frac{-2\sqrt{x}+\sqrt{x}}{2x^2}=-\frac{\sqrt{x}}{2x^2}$

Можно было и по правилу дифференцирования частного, но его я расписывать не буду.

$3)g'(x)=(\frac{2-3x}{3x+2})'=\frac{(2-3x)'(3x+2)-(2-3x)(3x+2)'}{(3x+2)^2}=\frac{-3(3x+2)-(2-3x)\cdot3}{(3x+2)^2}=\frac{-9x-6-6+9x}{(3x+2)^2}=\frac{-12}{(3x+2)^2}=-\frac{12}{(3x+2)^2}$

$4)u'(x)=(\sin5x)'=\cos5x\cdot(5x)'=5\cos5x$

3. Уравнение касательной $y$ к графику произвольной функции $f(x)$ в точке  $x_0$ имеет следующий вид:

$y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$

Во-первых, $f(x_0)=f(-1)=(-1)^2-1=1-1=0.$

Во-вторых, ищем производную: $f'(x)=(x^2-1)'=(x^2)'-1'=2x-0=2x.$

В-третьих, $f'(x_0)=f'(-1)=2\cdot(-1)=-2.$

Подставляем данные и составляем искомое уравнение:

$y=-2[x-(-1)]+0=-2(x+1)=-2x-2.$

ОТВЕТ: -2x - 2.

Answer 2

Конечно, я готов помочь вам с решением задач по математике! Давайте начнем:

1. Найдем производные функций:

а) $f(x) = 5x^4 + 3x^2 - 8x - 9$ Производная $f'(x)$ будет равна: $f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^4) + \frac{d}{dx}(3x^2) - \frac{d}{dx}(8x) - \frac{d}{dx}(9)$ $f'(x) = 20x^3 + 6x - 8$

б) Функция $g(x)$ не указана в вашем сообщении.

в) Функция $q(x)$ также не указана в вашем сообщении.

г) $u(x) = \sin(5x)$ Производная $u'(x)$ будет равна: $u'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(5x)) = 5\cos(5x)$

2. Найдем угол между касательной и осью ОХ в точке $x_0 = 2$ для функции $f(x) = x^2$:

Касательная к графику функции в точке $x_0$ имеет наклон, который равен значению производной в этой точке. Таким образом, нам нужно найти производную $f'(x)$ и затем найти угол между этой производной и осью ОХ.

Для функции $f(x) = x^2$, производная будет: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) = 2x$

Теперь нам нужно найти угол между этой производной и осью ОХ. Угол $\theta$ можно найти по следующей формуле: $\tan(\theta) = \frac{\text{производная в точке } x_0}{1} = \frac{f'(x_0)}{1}$

В точке $x_0 = 2$, производная $f'(2) = 2 \cdot 2 = 4$, таким образом, $\tan(\theta) = 4$. Чтобы найти угол $\theta$, можно использовать обратную функцию тангенса: $\theta = \arctan(4)$

Используя калькулятор, найдем $\theta \approx 75.96^\circ$.

3. Найдем уравнение касательной к графику функции $f(x) = x^2 - 1$ в точке $x_0 = -1$:

Чтобы найти уравнение касательной, нам нужно найти значение производной $f'(x)$ в точке $x_0$, а также значение функции $f(x)$ в этой точке. Затем мы можем использовать уравнение касательной в точке-наклонной форме: $y - y_0 = m(x - x_0)$, где $y_0$ - значение функции, $m$ - наклон (значение производной).

Для функции $f(x) = x^2 - 1$, производная будет: $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x$

В точке $x_0 = -1$, производная $f'(-1) = 2 \cdot (-1) = -2$, а значение функции $f(-1) = (-1)^2 - 1 = 0$