Question

Используя методы доказательства: Прямым рассуждением докажите истинность высказывания: n и m - четные числа => n+m - число четное. Дайте обратное доказательство высказывания: n2 — четное число => n - четное. Методом «от противного» докажите, что n+m — нечетное число => одно из слагаемых является четным, а другое - нечетным.

Answer 1

1. Если числа n и m - четные, то n = 2p, m = 2q, где p и q - целые числа. Тогда n + m = 2p + 2q = 2(p + q) - очевидно, четное число, что и требовалось доказать.

2. Предположим, что n - нечетное, и его квадрат равен четному числу. n = 2p + 1, где p - целое число. Тогда n² = (2p + 1)² = (2p)² + 2 · 2p · 1 + 1² = 4p² + 4p + 1 = 4p(p + 1) + 1 - очевидно, нечетное число при любом целом p. Получили противоречие - следовательно, n - четное.

3. Предположим, что если (n + m) - нечетное число, то возможно, что оба слагаемых являются или числами четными, или числами нечетными.

Если n и m - четные, то n = 2p, m = 2q. Тогда n + m = 2p + 2q = 2(p+q) - четное число, а не нечетное. Получили противоречие - следовательно, числа n и m не могут одновременно быть четными.

Если n и m - нечетные числа, то n = 2p + 1, m = 2q + 1. Тогда n + m = (2p + 1) + (2q + 1) = 2p + 2q + 2 = 2(p + q + 1) - четное, а не нечетное число. Получили противоречие - следовательно, n и m не могут быть нечетными одновременно.

Следовательно, одно из чисел четное, другое - нечетное, что и требовалось доказать.

Answer 2

Доказательство 1:

Высказывание: Если n и m - четные числа, то n + m - четное число.

Пусть n и m - четные числа. Это означает, что они делятся на 2 без остатка. То есть, существуют целые числа k и l такие, что:

n = 2k m = 2l

Тогда сумма n + m:

n + m = 2k + 2l = 2(k + l)

где (k + l) также является целым числом. Заметим, что 2(k + l) делится на 2 без остатка. Следовательно, n + m делится на 2 без остатка, и по определению четного числа, n + m - четное число. Доказательство завершено.

Обратное доказательство:

Высказывание: Если n^2 - четное число, то n - четное число.

Пусть n^2 - четное число. Это означает, что n^2 делится на 2 без остатка. Рассмотрим два случая:

1. Если n четное: Тогда n = 2k для некоторого целого числа k. Тогда n^2 = (2k)^2 = 4k^2, что также четное число. В этом случае доказательство завершено.

2. Если n нечетное: Тогда n = 2k + 1 для некоторого целого числа k. Тогда n^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1. Здесь n^2 выглядит как сумма четного числа (4k^2 + 4k) и 1, что является нечетным числом. Это противоречит предположению о том, что n^2 - четное. Следовательно, предположение о том, что n нечетное, неверно, и n должно быть четным. Доказательство завершено.

Доказательство методом «от противного»:

Высказывание: Если n + m - нечетное число, то одно из слагаемых n или m - четное, а другое - нечетное.

Допустим, что ни n, ни m нечетные (то есть, оба четные). Тогда, согласно доказательству из первой части, их сумма n + m также будет четным числом, что противоречит предположению о том, что n + m - нечетное число. Следовательно, хотя бы одно из чисел n или m должно быть нечетным.

Обратное доказательство (оба числа нечетные) аналогично: если предположить, что оба числа n и m нечетные и их сумма n + m четная, это также противоречит начальному предположению. Следовательно, хотя бы одно из чисел n или m должно быть четным.