Question

Найдите наибольшее натуральное число n, равное сумме двух различных натуральных делителей числа n+100.

Answer 1

Ответ:

104

Пошаговое объяснение:

Обозначим два слагаемых а и b.

По условию получаем два уравнения:

{ a + b = n

{ a*b = n + 100

По теореме Виета числа а и b - корни квадратного уравнения

x^2 - nx + n + 100 = 0

D = n^2 - 4(n+100) = n^2 - 4n - 400

x1 = a = (n - √(n^2 - 4n - 400) )/2

x2 = b = (n + √(n^2 - 4n - 400) )/2

Нужно подобрать такие n, чтобы числа x1 и x2 были натуральными, то есть корень должен быть натуральным числом.

Алгебраического решения у меня нет.

Я с помощью программы на Visual Basic проверил все числа до миллиона, и получил единственное решение:

n = 104

√(n^2 - 4n - 400) = 100

a = (n - √(n^2 - 4n - 400) )/2 = (104 - 100)/2 = 2

b = (n + √(n^2 - 4n - 400) )/2 = (104 + 100)/2 = 102

Проверка:

n + 100 = 104 + 100 = 204 = 2*102

2 + 102 = 104

Все верно.

Answer 2

Давайте разберемся в этой задаче. Пусть n - натуральное число. Мы ищем такое n, которое является суммой двух различных натуральных делителей числа n+100.

1. Выразим условие в виде уравнения: n = p + q, где p и q - различные натуральные делители числа n+100.

2. Поскольку n - натуральное число, p и q также должны быть натуральными числами и делителями n+100.

3. Мы знаем, что n+100 делится на n (потому что n является делителем n+100), поэтому можно записать: n+100 = kn, где k - натуральное число.

4. Теперь мы можем выразить n через k: n = kn - 100.

5. Подставим это выражение в наше уравнение n = p + q: kn - 100 = p + q.

6. Теперь нам нужно найти наибольшее натуральное число n, которое удовлетворяет этому уравнению и условию, что p и q - различные натуральные делители числа n+100.

7. Рассмотрим некоторые значения k:

   • Если k = 1, то n - 100 = p + q. Наибольшее натуральное n в этом случае будет равно 100 (p = 1, q = 99 или p = 2, q = 98 и так далее).
   • Если k = 2, то 2n - 100 = p + q. В этом случае наибольшее натуральное n будет равно 50 (p = 1, q = 49).

8. Таким образом, наибольшее натуральное число n, удовлетворяющее условию, равно 100.

Таким образом, наибольшее натуральное число n, которое является суммой двух различных натуральных делителей числа n+100, равно 100.