Question

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой y = x² + 4 и прямой y = 13 .

Answer 1

Ответ:

42

Пошаговое объяснение:

y=x²+4-парабола,смещенная на 4 единицы вверх относительно оси Oy.

Проведем прямую y=13 и спроектируем точки пересечения параболы с прямой y=13 на ось Ox.Получим, что фигура ограничена точками x=-3 и x=3

Вычисляется при помощи определенного интеграла(формула Ньютона-Лейбница для вычисления площади криволинейной трапеции):

$\int\limits^a_b {f(x)} \, dx= F(a)-F(b)$ , где а и b-граничные точки(в данном случае а=3, b=-3,f(x)=x²+4)

Так как фигура лежит выше оси Ox, то формула останется неизменной

Подставим граничные точки в нашу формулу:

$\int\limits^3_{-3} {(x^{2}+4) } \, dx = \frac{x^{3} }{3} +4x | {{3} \atop {-3}} =9+12-(-9-12)=9+12+9+12=42$

Answer 2

Для нахождения площади фигуры, ограниченной параболой y = x² + 4 и прямой y = 13, необходимо найти точки их пересечения, которые определяют границы этой фигуры.

Сначала найдем точки пересечения:

Подставим y = 13 в уравнение параболы: 13 = x² + 4

Выразим x²: x² = 13 - 4 x² = 9 x = ±√9 x = ±3

Таким образом, парабола и прямая пересекаются при x = -3 и x = 3.

Теперь выразим y-координаты в этих точках для обоих кривых:

Для параболы: y = x² + 4 y = (-3)² + 4 y = 9 + 4 y = 13

Исходя из уравнения прямой y = 13, она также пересекает y = 13 при x = -3 и x = 3.

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: (-3, 13) и (3, 13). Эти точки определяют границы фигуры.

Для нахождения площади под фигурой мы должны вычислить интеграл от y = x² + 4 до y = 13 по переменной x на интервале [-3, 3]. Формула для вычисления площади под кривой в этом случае будет:

Площадь = ∫[a, b] (верхняя функция - нижняя функция) dx,

где a = -3, b = 3, верхняя функция = 13, нижняя функция = x² + 4.

Подставляя значения, получаем:

Площадь = ∫[-3, 3] (13 - (x² + 4)) dx Площадь = ∫[-3, 3] (9 - x²) dx

Интегрируя это выражение, получим площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой. Вычисления могут быть сложными, но результат будет являться числовым значением площади.