Question

4. Одна из сторон прямоугольника равна 4 см, а диагональ – 5 см. Прямоугольник вращается вокруг меньшей своей стороны. Найдите объем тела вращения.

Answer 1

По теореме Пифагора сумма квадратов длины и ширины прямоугольника равна квадрату его диагонали.

$a^2+b^2=d^2\Rightarrow b=\sqrt{d^2-a^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt9=3$ см.

В результате вращения прямоугольника вокруг стороны 3 см получаем цилиндр с радиусами оснований 4 см и высотой 3 см (смотри рисунок).

$V=\pi R^2h=3,14\cdot4^2\cdot3=3,14\cdot16\cdot3=150,72$ см³

Answer 2

Чтобы найти объем тела вращения, образованного вращением прямоугольника вокруг его меньшей стороны, можно использовать метод цилиндрических оболочек. Этот метод заключается в том, чтобы представить вращающееся тело как множество тонких цилиндров с определенной высотой и радиусом, затем интегрировать объемы этих цилиндров.

Для начала определим, какой из оставшихся двух сторон прямоугольника будет большей. Мы знаем, что одна сторона равна 4 см. Обозначим вторую сторону как $x$ см.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника (где диагональ — гипотенуза) мы имеем:

$x^2 + 4^2 = 5^2$ $x^2 = 25 - 16$ $x^2 = 9$ $x = 3$

Теперь, когда мы знаем стороны прямоугольника (4 см и 3 см), давайте рассмотрим вращение вокруг стороны длиной 3 см.

Объем тела, образованного вращением, можно выразить следующим образом:

$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \, dx$

где $a$ и $b$ - границы интегрирования (от 0 до 3, поскольку мы вращаемся вокруг стороны длиной 3 см), $y$ - расстояние от вращающейся оси (стороны 3 см) до функции $y = f(x)$ (расстояние до верхней стороны прямоугольника).

В данном случае $y = 2$ (половина высоты прямоугольника).

Подставляя значения:

$V = \pi \int_{0}^{3} 2^2 \, dx = 4\pi \int_{0}^{3} dx = 4\pi \cdot 3 = 12\pi \, \text{см}^3$

Итак, объем тела вращения составляет $12\pi \, \text{см}^3$.