Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями y=2x^2-8x, y=0

Answer 1

Ответ:

$y=2x^2-8x\ \ ,\ \ y=0\\\\2x^2-8x=0\ \ ,\ \ 2x(x-4)=0\ \ \to \ \ x_1=0\ ,\ x_2=4\\\\S=\int\limits^4_0\; (-2x^2+8x)\, dx=\Big(-\dfrac{2x^3}{3}+\dfrac{8x^2}{2}\Big)\Big|_0^4=-\dfrac{128}{3}+64=\dfrac{64}{3}$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры между графиками функций y = 2x^2 - 8x и y = 0, нужно найти точки их пересечения и затем вычислить определенный интеграл площади между этими точками.

Сначала найдем точки пересечения:

1. Положим y = 2x^2 - 8x равной нулю: 2x^2 - 8x = 0 2x(x - 4) = 0

Из этого уравнения видно, что x = 0 или x = 4.

Теперь мы знаем, что точки пересечения находятся в x = 0 и x = 4. Подставим их обратно в уравнение y = 2x^2 - 8x, чтобы найти соответствующие значения y:

1. Для x = 0: y = 2 * 0^2 - 8 * 0 = 0

2. Для x = 4: y = 2 * 4^2 - 8 * 4 = 32 - 32 = 0

Таким образом, точки пересечения (0, 0) и (4, 0) формируют отрезок, ограничивающий фигуру.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры между графиками, интегрируя модуль разности функций вдоль этого отрезка:

S = ∫[0, 4] |(2x^2 - 8x) - 0| dx S = ∫[0, 4] (2x^2 - 8x) dx

Раскроем интеграл и проинтегрируем:

S = [2/3 * x^3 - 4x^2] from 0 to 4 S = (2/3 * 4^3 - 4 * 4^2) - (2/3 * 0^3 - 4 * 0^2) S = (128/3 - 64) - (0 - 0) S = 128/3 - 64 S = 128/3 - 192/3 S = -64/3

Таким образом, площадь фигуры между графиками y = 2x^2 - 8x и y = 0 равна -64/3 квадратных единиц. Обратите внимание, что площадь отрицательна, потому что кривая y = 2x^2 - 8x находится ниже оси x в интервале [0, 4].