Question

Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной: а) параболой у = 3 – 2х – х^2 и прямыми у = 0, х = –2, х = 0.б) линиями у = х^2+ 2 , у = х + 4

Answer 1

$a)\ \ y=3-2x-x^2\ \ ,\ \ y=0\ \ ,\ \ x=-2\ \ ,\ \ x=0\\\\\\S=\int\limits^0_{-2}\, (3-2x-x^2)\, dx=\Big(3x-x^2-\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-2}^0=-\Big(-6-4+\dfrac{8}{3}\Big)=\\\\\\=10-\dfrac{8}{3}=\dfrac{22}{3}$

$b)\ \ y=x^2+2\ \ ,\ \ y=x+4\\\\x^2+2=x+4\ \ ,\ \ x^2-x-2=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=2\\\\\\S=\int\limits^2_{-1}\, (x+4-x^2-2)\, dx=\Big(\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\Big)\Big|_{-1}^2=\\\\\\=2+4-\dfrac{8}{3}-\Big(\dfrac{1}{2}-2+\dfrac{1}{3}\Big)=8-\dfrac{1}{2}-\dfrac{8}{3}=\dfrac{29}{6}$

Answer 2

Для нахождения площади криволинейной фигуры ограниченной кривыми или прямыми, нужно вычислить определенный интеграл функции, которая представляет разность между верхней и нижней функциями вдоль оси, вдоль которой площадь измеряется.

а) Первая задача: Кривая: у = 3 – 2х – х^2 Прямые: у = 0, х = –2, х = 0

Сначала найдем точки пересечения кривой с данными прямыми:

1. Подставим y = 0 в уравнение кривой и решим относительно x: 0 = 3 - 2x - x^2 x^2 - 2x - 3 = 0 (x - 3)(x + 1) = 0 x = 3 или x = -1

Теперь интегрируем по x от -2 до -1 (левая область) и от -1 до 3 (правая область): Площадь = ∫(нижняя функция - верхняя функция) dx

Площадь левой области: ∫(0 - (3 - 2x - x^2)) dx, где x изменяется от -2 до -1

Площадь правой области: ∫(0 - (3 - 2x - x^2)) dx, где x изменяется от -1 до 3

b) Вторая задача: Кривые: у = х^2 + 2, у = х + 4

Найдем точки пересечения кривых: Подставим y = x^2 + 2 и y = x + 4 и решим уравнение относительно x: x^2 + 2 = x + 4 x^2 - x - 2 = 0 (x - 2)(x + 1) = 0 x = 2 или x = -1

Интегрируем по x от -1 до 2: Площадь = ∫(нижняя функция - верхняя функция) dx

Площадь: ∫((x^2 + 2) - (x + 4)) dx, где x изменяется от -1 до 2

Вычислив интегралы, вы найдете площади для обоих случаев.