Question

Вычислить площадь криволинейной трапеции, ограниченной:1) осью Ox, прямыми х=-2, х=2 и параболой у= 16-х^22) параболой у=х^2+1, прямыми у=х, х=-1, х=2

Answer 1

1) y=16-x^2

    S=∫(16-x^2)dx от -2 до 2 =2∫(16-x^2)dx от 0 до 2 =

   

      =2*(16x-x^3/3) от 0 до 2 = 2*(32-8/3)=2*88/3=176/3

 

2) y=x^2+1

    S=∫(x^2+1)dx от -1 до 2 = (x^3/3+x) от -1 до 2 =

       

       =(8/3+2)-(-1/3-1)=6

Answer 2

Для вычисления площади криволинейной трапеции ограниченной кривыми, необходимо использовать определенный интеграл. Формула для вычисления площади S между двумя функциями f(x) и g(x) на интервале [a, b] выглядит следующим образом:

\[ S = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \]

В данном случае у нас есть две кривые и два участка, ограниченных этими кривыми. Поэтому мы будем вычислять два интеграла и затем складывать результаты.

1. Площадь между \(y = 16 - x^2\) и \(y = 0\) на интервале \([-2, 2]\): \[ S_1 = \int_{-2}^{2} |16 - x^2 - 0| \, dx \]

2. Площадь между \(y = x^2 + 1\) и \(y = x\) на интервале \([-1, 2]\): \[ S_2 = \int_{-1}^{2} |(x^2 + 1) - x| \, dx \]

Теперь вычислим эти интегралы:

1. Для первого участка: \[ S_1 = \int_{-2}^{2} (16 - x^2) \, dx \]

2. Для второго участка: \[ S_2 = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1 - x) \, dx \]

Теперь проведем вычисления:

1. \[ S_1 = \int_{-2}^{2} (16 - x^2) \, dx = \left[16x - \frac{x^3}{3}\right]_{-2}^{2} \] \[ S_1 = \left[32 - \frac{8}{3}\right] - \left[-32 + \frac{8}{3}\right] = \frac{80}{3} \]

2. \[ S_2 = \int_{-1}^{2} (x^2 + 1 - x) \, dx = \left[\frac{x^3}{3} + x^2 - \frac{x^2}{2}\right]_{-1}^{2} \] \[ S_2 = \left[\frac{8}{3} + 4 - 2\right] - \left[-\frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{2}\right] = \frac{20}{3} \]

Теперь сложим результаты: \[ S = S_1 + S_2 = \frac{80}{3} + \frac{20}{3} = \frac{100}{3} \]

Таким образом, площадь криволинейной трапеции, ограниченной указанными кривыми и прямыми, равна \(\frac{100}{3}\).