Question

Помогите, пожалуйста Найти все первообразные функцииа) f(x)=2x−3x^2б) f(x)=√x+1в) f(x)=e^2x−sinx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a)  F(x)=2x^2/ 2-3x^3/ 3 +c=x^2-x^3+c

б) F(x)=2V(x+1)^3 /3 +c

в) F(x)=1/2*e^2x +cosx+c

Answer 2

Конечно, я помогу вам найти первообразные функции для данных функций.

a) Функция: f(x) = 2x - 3x^2 Чтобы найти первообразную этой функции, нужно воспользоваться правилами интегрирования. В данном случае, вычислим интеграл от каждого слагаемого по отдельности:

∫(2x - 3x^2) dx = ∫2x dx - ∫3x^2 dx

Интеграл первого слагаемого: ∫2x dx = x^2 + C1

Интеграл второго слагаемого: ∫3x^2 dx = x^3 + C2

Таким образом, первообразная функция для f(x) = 2x - 3x^2: F(x) = x^2 - x^3 + C

b) Функция: f(x) = √x + 1 Интеграл от √x можно найти с помощью замены переменной. Положим u = x + 1, тогда du = dx.

∫√x dx = ∫√(u - 1) du

Сделаем замену и рассчитаем интеграл: ∫√(u - 1) du = (2/3)(u - 1)^(3/2) + C

Теперь подставим обратную замену для u: (2/3)(x + 1 - 1)^(3/2) + C = (2/3)x^(3/2) + C

Таким образом, первообразная функция для f(x) = √x + 1: F(x) = (2/3)x^(3/2) + C

c) Функция: f(x) = e^(2x) - sin(x) Интеграл от e^(2x) можно вычислить просто, так как он имеет элементарную форму. Интеграл от sin(x) также является элементарным.

∫e^(2x) dx = (1/2)e^(2x) + C1 ∫sin(x) dx = -cos(x) + C2

Следовательно, первообразная функция для f(x) = e^(2x) - sin(x): F(x) = (1/2)e^(2x) - cos(x) + C

Где C1, C2 и C - произвольные постоянные интегрирования.