Question

Найдите все первообразные функции. f(x) = 6x^2 - e^2x

Answer 1

Ответ с решением на фотографии

Answer 2

Для того чтобы найти первообразную функцию $F(x)$ для данной функции $f(x) = 6x^2 - e^{2x}$, мы должны найти функцию, производная которой равна $f(x)$.

Давайте начнем с расчета производной $f'(x)$: $f(x) = 6x^2 - e^{2x}$ $f'(x) = \frac{d}{dx}(6x^2) - \frac{d}{dx}(e^{2x})$ $f'(x) = 12x - 2e^{2x}$

Теперь нам нужно найти функцию, производная которой равна $12x - 2e^{2x}$. Для этого нам нужно найти антипроизводную (первообразную) от $12x$ и от $-2e^{2x}$ по отдельности.

1. Антипроизводная $\int 12x \, dx$: $\int 12x \, dx = 6x^2 + C_1$

2. Антипроизводная $\int -2e^{2x} \, dx$: $\int -2e^{2x} \, dx = -\frac{2}{2} e^{2x} + C_2 = -e^{2x} + C_2$

Где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные интегрирования.

Теперь, чтобы найти первообразную $F(x)$ для функции $f(x)$, мы суммируем найденные антипроизводные: $F(x) = \int f(x) \, dx = \int (6x^2 - e^{2x}) \, dx = 6x^2 + (-e^{2x}) + C$

Где $C$ - произвольная постоянная интегрирования. Итак, первообразная функция для $f(x) = 6x^2 - e^{2x}$ равна: $F(x) = 6x^2 - e^{2x} + C$