Question

Из 50 деталей 18 изготовлены в первом цехе, 20 – во втором, остальные в третьем. Первый и третий цеха дают продукцию отличного качества с вероятностью 0,95, второй цех – с вероятностью 0,7. Наудачу взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе?

Answer 1

Пусть A — выбрана деталь отличного качества.

$B_i$ — выбранная деталь изготовлена в $i$ цехе, где $i=\overline{1,3}$.

$P(B_1)=\dfrac{18}{50}=\dfrac{9}{25};~ P(B_2)=\dfrac{20}{50}=\dfrac{2}{5};~ P(B_3)=\dfrac{12}{50}=\dfrac{6}{25}$

Условные вероятности :

$P(A|B_1)=P(A|B_3)=0{,}95;~ P(A|B_2)=0{,}7$

$P(A)=\displaystyle \sum_{i=1}^3P(A|B_i)P(B_i)=0{,}95\cdot \dfrac{9}{25}+0{,}7\cdot \dfrac{2}{5}+0{,}95\cdot \dfrac{6}{25}=0{,}85.$

По формуле Байеса: $P(B_2|A)=\dfrac{P(A|B_2)P(B_2)}{P(A)}=\dfrac{0{,}7\cdot 2/5}{0{,}85}=\dfrac{28}{85}$

Answer 2

Давайте воспользуемся формулой условной вероятности для решения этой задачи. Пусть событие A означает, что деталь была изготовлена во втором цехе, и событие B означает, что деталь имеет отличное качество.

Мы хотим найти вероятность P(A|B) - то есть вероятность того, что деталь была изготовлена во втором цехе, при условии, что она имеет отличное качество.

Известно:

• Всего деталей: 50

• Деталей изготовлено в первом цехе: 18

• Деталей изготовлено во втором цехе: 20

• Деталей изготовлено в третьем цехе: Остальные, то есть 50 - 18 - 20 = 12

• Вероятность, что деталь из отличного качества, если она из первого или третьего цеха: P(B|1) = P(B|3) = 0.95

• Вероятность, что деталь из отличного качества, если она из второго цеха: P(B|2) = 0.7

Используем формулу условной вероятности:

P(A|B) = (P(B|A) * P(A)) / P(B)

где:

• P(A) - вероятность выбора детали из второго цеха = (Количество деталей из второго цеха) / (Общее количество деталей) = 20 / 50
• P(B|A) - вероятность, что деталь из второго цеха, и она имеет отличное качество = 0.7
• P(B) - вероятность, что деталь имеет отличное качество = P(B|1) * P(A) + P(B|2) * P(A) + P(B|3) * P(A)

Подставим значения и вычислим:

P(A) = 20 / 50 = 0.4 P(B) = (0.95 * 0.4) + (0.7 * 0.4) + (0.95 * 0.4) = 0.95

Теперь можем найти P(A|B):

P(A|B) = (0.7 * 0.4) / 0.95 ≈ 0.2947

Итак, вероятность того, что деталь изготовлена во втором цехе, при условии, что она имеет отличное качество, составляет примерно 0.2947 или около 29.47%.