Question

Вычислите неопределенный интеграл√sinx*cosxdx

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$\int\limit {\sqrt{sinx} * cosx} \, dx = \left[\begin{array}{ccc}u=cosx\\du = (-sinx ) dx\\\end{array}\right] = -\int\limits {\sqrt{u} } \, du =$

$= -\frac{2\sqrt[3]{u^{2} } }{3} + C = -\frac{2\sqrt[3]{cos^{2}x } }{3} + C$

Answer 2

Для вычисления данного интеграла ∫√(sin(x) * cos(x)) dx, можно воспользоваться методом интегрирования по частям. Формула интегрирования по частям имеет вид:

∫ u dv = uv - ∫ v du,

где u и v - выбранные функции, а du и dv - их дифференциалы.

Давайте выберем u = √sin(x) и dv = cos(x) dx. Тогда можно найти du и v:

du = (1/2) * (sin(x))^(-1/2) * cos(x) dx, v = ∫ cos(x) dx = sin(x).

Теперь применим формулу интегрирования по частям:

∫√(sin(x) * cos(x)) dx = uv - ∫ v du = √sin(x) * sin(x) - ∫ sin(x) * (1/2) * (sin(x))^(-1/2) * cos(x) dx = sin(x) * √sin(x) - (1/2) ∫ (sin(x))^(-1/2) * cos(x)^2 dx = sin(x) * √sin(x) - (1/2) ∫ (sin(x))^(-1/2) * (1 - sin(x)) dx.

Теперь у нас остался интеграл, который можно рассмотреть как сумму двух интегралов:

∫ (sin(x))^(-1/2) dx - ∫ (sin(x))^(1/2) dx.

Первый интеграл можно выразить через арксинус:

∫ (sin(x))^(-1/2) dx = 2 * √sin(x) + C₁,

где C₁ - произвольная постоянная интегрирования.

Второй интеграл можно выразить через замену переменной:

∫ (sin(x))^(1/2) dx = ∫ sin(x)^(1/2) * (sin(x))^(-1/2) dx = ∫ (1 - cos(x))^(-1/2) dx.

Для этого интеграла можно воспользоваться заменой переменной t = cos(x), откуда dt = -sin(x) dx:

∫ (1 - cos(x))^(-1/2) dx = -2 * ∫ (1 - t)^(-1/2) dt = -2 * 2 * √(1 - t) + C₂ = -4 * √(1 - cos(x)) + C₂,

где C₂ - ещё одна произвольная постоянная.

Таким образом, окончательное выражение для интеграла ∫√(sin(x) * cos(x)) dx будет:

√sin(x) * sin(x) - (1/2) * (2 * √sin(x) + C₁) + 4 * √(1 - cos(x)) + C₂ = sin(x) * √sin(x) - √sin(x) + 4 * √(1 - cos(x)) + C,

где C = -(1/2) * C₁ + C₂ - константа интегрирования.