Question

Найдите значения sinα, tgα, ctgα, если cosα = 0,75

Answer 1

Из основного тригонометрического тождества sin²α+cos²α= 1 выразим sinα

sinα= √1-cos²α

cos α = 75/100 = 3/4

$sin\alpha = \sqrt{1-(\frac{3}{4})^{2} } = \sqrt{\frac{16-9}{16} } = \sqrt{\frac{7}{16} } =\frac{\sqrt{7} }{4}$

Если α∈($0,\pi$), то sin, tg и ctg будут положительными, если α∈($\pi,2\pi$), то sin, tg и ctg будут отрицательными

$tg \alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }$

$ctg \alpha =\frac{cos\alpha }{sin\alpha } = (tg\alpha )^{-1}$

$tg \alpha =\frac{\sqrt{7} }{4} : \frac{3 }{4} = \frac{\sqrt{7} }{4} * \frac{4}{3} = \frac{\sqrt{7} }{3}$

$ctg\alpha = (\frac{\sqrt{7} }{3}) ^{-1} = \frac{3}{\sqrt{7} }$

Answer 2

Если известно, что $\cos{\alpha} = 0,75$, то мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы найти значения других тригонометрических функций. Давайте начнем с нахождения значения синуса $\sin{\alpha}$:

Известно, что $\cos^2{\alpha} + \sin^2{\alpha} = 1$. Подставив значение $\cos{\alpha} = 0,75$, мы можем найти значение $\sin{\alpha}$:

$\sin^2{\alpha} = 1 - \cos^2{\alpha} = 1 - 0,75^2 = 1 - 0,5625 = 0,4375.$

Так как $\sin{\alpha}$ - это положительное значение, то $\sin{\alpha} = \sqrt{0,4375} \approx 0,6614$.

Теперь мы можем найти значение тангенса $\tan{\alpha}$:

$\tan{\alpha} = \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{0,6614}{0,75} \approx 0,8819.$

И, наконец, значение котангенса $\cot{\alpha}$ можно найти как обратное значение тангенса:

$\cot{\alpha} = \frac{1}{\tan{\alpha}} = \frac{1}{0,8819} \approx 1,1331.$

Итак, при $\cos{\alpha} = 0,75$, значения других тригонометрических функций будут примерно: $\sin{\alpha} \approx 0,6614,$ $\tan{\alpha} \approx 0,8819,$ $\cot{\alpha} \approx 1,1331.$