Question

Имеются 2 урны. В первой 3 белых и 4 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных. Из первой урны наудачу перекладывают во вторую 2 шара, а затем из второй урны извлекают один шар. Какой состав переложенных шаров наиболее вероятен, если шар, извлеченный из второй урны, окажется белым?

Answer 1

$A$ — после перемещения двух шаров из 2-й урны будет извлечён белый шар

$B_1$ — из 1-й урны во 2-ю будут переложены два белых шара;

$B_2$ — будет переложен белый и чёрный шар;

$B_3$ — будут переложены два чёрных шара.

$C^2_7=\frac{7!}{2!5!}=21$ способами можно извлечь два шара из первой урны.

1) $C^2_3=3$ способами можно извлечь два белых шара из 1-й урны и переложить во вторую урну с вероятностью $P(B_1)=\frac{3}{21}=\frac{1}{7}$. При осуществлении данной гипотезы во 2-й урне станет 4 белых и 3 чёрных шара. Вероятность того, что извлечённый шар из второй урны окажется белым при условии, что из первой урны взяты 2 белых шара равна $P_{B_1}(A)=\frac{4}{7}$.

2) $C^1_3C^1_4=3\cdot4=12$ способами можно извлечь белый и черный шар из 1-й урны. По классическому определению: $P(B_2)=\frac{3\cdot 4}{21}=\frac{4}{7}$. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 3 белых и 4 черных шаров. $P_{B_2}(A)=\frac{3}{7}$ - вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

3) $C^2_4=\frac{4!}{2!2!}=6$ ожно извлечь два черных шара из 1-й урны. По классическому определению: $P(B_3)=\frac{6}{21}=\frac{2}{7}$. При осуществлении данной гипотезы во второй урне станет 2 белых и 5 черных шаров. Таким образом: $P_{B_1}(A)=\frac{2}{7}$ - вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

ВЫГОДНЕЙ ПЕРЕЛОЖИТЬ ДВА БЕЛЫХ ШАРА.

Answer 2

Для решения данной задачи, давайте рассмотрим все возможные варианты состава переложенных шаров и определим вероятности каждого из них.

Пусть:

• $B_1$ - белый шар из первой урны
• $B_2$ - белый шар из второй урны

Исходные составы урн:

1. Первая урна: 3 белых, 4 черных
2. Вторая урна: 2 белых, 3 черных

Рассмотрим все возможные варианты состава переложенных шаров:

1. Переложили 2 белых шара из первой урны.
   • Вероятность этого события: $P(B_1B_1) = \frac{3}{7} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{7}$.
2. Переложили 1 белый и 1 черный шар из первой урны.
   • Вероятность этого события: $P(B_1B_2) = \frac{3}{7} \cdot \frac{4}{6} = \frac{2}{7}$.
3. Переложили 2 черных шара из первой урны.
   • Вероятность этого события: $P(B_2B_2) = \frac{4}{7} \cdot \frac{3}{6} = \frac{2}{7}$.

Суммируя вероятности для всех случаев, получаем: $P(\text{белый из второй урны}) = P(B_1B_1) + P(B_1B_2) = \frac{1}{7} + \frac{2}{7} = \frac{3}{7}$.

Таким образом, наиболее вероятный состав переложенных шаров, если из второй урны извлечен белый шар, - это два белых шара: $B_1B_1$, с вероятностью $P(B_1B_1) = \frac{1}{7}$.