Question

Исследовать функцию на экстремум: ( х )= − х³+2х²−х ОЧЕНЬ СРОЧНО!ПОЖАЛУЙСТА

Answer 1

Ответ:

===========================================

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, мы должны найти её критические точки (где производная равна нулю или не существует) и проанализировать знаки производной в окрестностях этих точек. Давайте начнем с данной функции:

$f(x) = -x^3 + 2x^2 - x$

Шаг 1: Найдем производную функции $f'(x)$: $f'(x) = -3x^2 + 4x - 1$

Шаг 2: Найдем критические точки, где $f'(x) = 0$: $-3x^2 + 4x - 1 = 0$

Для решения квадратного уравнения можно воспользоваться дискриминантом: $D = b^2 - 4ac$, где у нас $a = -3$, $b = 4$, $c = -1$.

$D = 4^2 - 4 \cdot (-3) \cdot (-1) = 16 - 12 = 4$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня: $x = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$ и $x = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$

$x = \frac{-4 + \sqrt{4}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-4 + 2}{-6} = \frac{-1}{3}$

$x = \frac{-4 - \sqrt{4}}{2 \cdot (-3)} = \frac{-4 - 2}{-6} = 1$

Таким образом, у нас есть две критические точки: $x = \frac{-1}{3}$ и $x = 1$.

Шаг 3: Анализ знаков производной в окрестностях критических точек.

Для $x < \frac{-1}{3}$, производная $f'(x) = -3x^2 + 4x - 1$ отрицательна, так как все коэффициенты отрицательны, а это значит, что функция убывает.

Для $\frac{-1}{3} < x < 1$, производная $f'(x)$ положительна, так как $-3x^2$ и $4x$ будут меньше, чем 1, а это значит, что функция возрастает.

Для $x > 1$, производная $f'(x)$ снова отрицательна, так как $-3x^2$ и $4x$ будут меньше 1, а это значит, что функция убывает.

Исходя из анализа знаков производной, мы можем сделать вывод, что:

• В точке $x = \frac{-1}{3}$ функция имеет локальный максимум.
• В точке $x = 1$ функция имеет локальный минимум.

Наконец, мы можем подставить найденные критические точки в исходную функцию, чтобы получить значения максимума и минимума:

$f\left(\frac{-1}{3}\right) = -\left(\frac{-1}{3}\right)^3 + 2\left(\frac{-1}{3}\right)^2 - \frac{-1}{3} \approx -\frac{10}{27}$ $f(1) = -1^3 + 2 \cdot 1^2 - 1 = 0$

Таким образом, функция имеет локальный максимум при $x = \frac{-1}{3}$