Question

Y=(x-4)^2+1; x=5; x=3; y=0 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями! Полное решение!

Answer 1

Ответ:

8/3≈2.66667

Пошаговое объяснение:

Начертим график, чтобы понять какая область интегрирование. Площадь фигуры под графиком - это кусочек под параболой.

У него пределы интегрирования от 3 до 5. Составим интеграл и найдём площадь.

$\int\limits^3_5 {(x-4)^2+1} \, dx$

Разложим квадрат разности: $(x-4)^2=x^2-8x+16$

Проинтегрируем это выражение: $\int\limits^ {} x^2-8x+16+1\, dx =\int\limits x^2-8x+17 \, dx =\int\limits x^2 \, dx - \int\limits 8x \, dx+\int\limits 17 \, dx$

$=\frac{x^3}{3} -4x^2+17x$

Определим пределы по формуле Ньютона- Лейбница: $\int\limits^a_b {f(x)} \, dx =F(b)-F(a)$

$\frac{5^3}{3}-4*5^2+17*5-(\frac{3^3}{3} -4*3^2+17*3)=\frac{125}{3} -39=\frac{8}{3}$

Answer 2

Дано уравнение параболы Y = (x - 4)^2 + 1. Для вычисления площади фигуры, ограниченной этой параболой и осями координат, нам необходимо найти точки пересечения параболы с осями и затем использовать интеграл для вычисления площади под кривой.

1. Найдем точки пересечения с осями координат:

   a. Пересечение с осью x (y = 0): 0 = (x - 4)^2 + 1 (x - 4)^2 = -1 (Отрицательное число не имеет квадратного корня в действительных числах) Следовательно, данная парабола не пересекает ось x при реальных значениях x, когда y = 0.

   b. Пересечение с осью y (x = 0): Y = (0 - 4)^2 + 1 = 16 + 1 = 17 То есть, точка пересечения с осью y - (0, 17).

2. Теперь найдем точки пересечения параболы с вертикальной линией x = 3 и горизонтальной линией x = 5:

   a. При x = 3: Y = (3 - 4)^2 + 1 = 1 Точка пересечения - (3, 1).

   b. При x = 5: Y = (5 - 4)^2 + 1 = 2 Точка пересечения - (5, 2).

3. Теперь у нас есть три точки: (0, 17), (3, 1) и (5, 2). Мы можем нарисовать график параболы и линий x = 3, x = 5, y = 0, чтобы наглядно увидеть фигуру, ограниченную ими.

4. Используя интеграл, площадь фигуры можно вычислить как разность интегралов:

   A = ∫[a, b] f(x) dx - ∫[c, d] g(x) dx,

   где f(x) - верхняя граница (парабола), g(x) - нижняя граница (ось x или y = 0), a и b - точки пересечения параболы с вертикальными линиями, c и d - точки пересечения параболы с горизонтальными линиями.

   A = ∫[3, 5] [(x - 4)^2 + 1] dx - ∫[3, 5] 0 dx = ∫[3, 5] [(x^2 - 8x + 16) + 1] dx = ∫[3, 5] (x^2 - 8x + 17) dx = [x^3/3 - 4x^2 + 17x] |[3, 5] = [(125/3 - 425 + 175) - (27/3 - 49 + 173)] = [125/3 - 100 + 85 - 9 + 36 - 51] = 47/3.

   Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой и линиями, составляет 47/3 или примерно 15.67 квадратных единиц.