Question

Найти частное решение дифференциального уравнения y''+6y'-7y=0, y(0)=0, y'(0)=1

Answer 1

Ответ:

решение на фотографии

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Для его решения можно использовать характеристическое уравнение.

Характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения имеет вид:

r^2 + 6r - 7 = 0.

Чтобы найти корни этого уравнения, мы можем использовать квадратное уравнение или факторизацию. Решим его через квадратное уравнение:

Дискриминант D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4*(-7) = 36 + 28 = 64.

Корни:

r = (-b ± √D) / 2a = (-6 ± √64) / 2 = (-6 ± 8) / 2.

Получаем два корня:

r1 = 1, r2 = -7.

Следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y(t) = C1 * e^(r1 * t) + C2 * e^(r2 * t),

где C1 и C2 - произвольные постоянные.

Теперь воспользуемся начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 1:

y(0) = C1 * e^(r1 * 0) + C2 * e^(r2 * 0) = C1 + C2 = 0,

y'(0) = C1 * r1 * e^(r1 * 0) + C2 * r2 * e^(r2 * 0) = C1 * r1 + C2 * r2 = 1.

Из первого уравнения получаем C1 = -C2. Подставляем это значение во второе уравнение:

-C2 * r1 + C2 * r2 = 1, C2 * (r2 - r1) = 1, C2 = 1 / (r2 - r1) = 1 / (-7 - 1) = -1/8.

Следовательно, C1 = 1/8.

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения y'' + 6y' - 7y = 0 с начальными условиями y(0) = 0 и y'(0) = 1:

y(t) = (1/8) * e^(t) - (1/8) * e^(-7t).