Question

Существуют ли такие числа а и б , отличные от 0, что одно из них делится на их сумму, а другое – на их разность? Ответ: нет, покажите, что либо сумма, либо разность по модулю больше обоих чисел.А ответ не понимаю, можете объяснить пожалуйста решение?

Answer 1

Если а и б имеют одинаковый знак то по модулю сумма больше чем модуль любого из них если разные знаки то модуль разности больше чем модуль любого из них
Теперь осталось доказать что если модуль x меньше модуль y и x не равен 0 то x не делиться на y. Если x делится на y то x=ny где n целое но так как модуль y меньше модуля x то -1

Answer 2

Конечно, я могу объяснить решение данной задачи.

Допустим, у нас есть два числа: $a$ и $b$, отличных от 0, такие что одно из них делится на их сумму, а другое делится на их разность. Предположим, что это так.

Пусть сумма этих чисел равна $S = a + b$, а разность равна $D = |a - b|$. Для удобства можно предположить, что $a$ больше или равно $b$ без потери общности (иначе можно поменять местами $a$ и $b$).

Теперь рассмотрим возможные случаи:

1. Если $a$ делится на $S$, то $a \mod S = 0$.
2. Если $b$ делится на $S$, то $b \mod S = 0$.
3. Если $a$ делится на $D$, то $a \mod D = 0$.
4. Если $b$ делится на $D$, то $b \mod D = 0$.

Давайте рассмотрим сумму и разность по модулю:

1. $S \mod |S| = 0$, так как любое число делится на свой модуль.
2. $D \mod |D| = 0$, также потому, что любое число делится на свой модуль.

Из этого следует, что и $a$ и $b$ должны делиться и на $S$, и на $D$, так как оба числа $S$ и $D$ положительны (так как мы взяли модуль разности).

Теперь обратим внимание на следующее: разность $D$ не может быть больше, чем сумма $S$, потому что мы предположили, что $a \geq b$. То есть, $D \leq S$.

Теперь рассмотрим разность $S - D$:

$$S - D = (a + b) - |a - b| = a + b - (a - b) = 2b$$

Так как $2b$ является двойным значением $b$, то $S - D$ также не может быть больше $S$, так как $b$ меньше $a$ (или равно ему) и, следовательно, $2b$ меньше $a + b$.

Таким образом, мы приходим к выводу, что ни $S - D$, ни $D$ не могут быть больше $S$. То есть, ни разность, ни модуль разности не могут быть делителями $a$ и $b$ одновременно.

Таким образом, приходим к противоречию, и наше исходное предположение, что существуют числа $a$ и $b$, для которых одно делится на сумму, а другое на разность, неверно.