Question

Григорий взял льготный кредит в бпнке на сумму 10 млн рубл под10% через год банк начисляет проценты,затем Григорий переводит в банк определённую сумму платежа . Какой должна быть сумма ежегодного платежа в рублях ,чтобы он выплатил долг четырмя равными ежегодными платежами ?

Answer 1

Обозначим через $P=10^7$ рублей сумму кредита. процентную ставку через $i=\dfrac{10\%}{100\%}=0{,}1$, а сумму выплат через $S.$

Поскольку сумма выплат в год составляет $S$, то долг после первого года будет $\Big(P(1+i)-S\Big)$. Для второго года долг увеличивается на ту же процетную ставку и величину и составляет $\Big(P(1+i)-S\Big)(1+i)=P(1+i)^2-S(1+i)$ рублей, тогда долг после двух лет равен $P(1+i)^2-S(1+i)-S$ рублей. Для третьего года сумма долга будет составлять $\Big(P(1+i)^2-S(1+i)-S\Big)(1+i)-S$ и для четвертого года $\Big(\Big(P(1+i)^2-S(1+i)-S\Big)(1+i)-S\Big)(1+i)-S$ рублей. По условию, клиент Григорий за 4 года должен погасить весь долг, составим уравнение

$\Big(\Big(P(1+i)^2-S(1+i)-S\Big)(1+i)-S\Big)(1+i)-S=0\\ \\ P(1+i)^4-S(1+i)^3-S(1+i)^2-S(1+i)-S=0$

$10^7\cdot 1{,}1^4-S\cdot 1{,}1^3-S\cdot 1{,}1^2-S\cdot 1{,}1-S=0\\ \\ 14641000-S\Big(1{,}1^3+1{,}1^2+1{,}1+1\Big)=0\\ \\ \\ S=\dfrac{14641000}{1{,}1^3+1{,}1^2+1{,}1+1}=\dfrac{14641000000}{4641}\approx 3154709~{\rm RUB}$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать формулу аннуитетного платежа. Аннуитетный платеж представляет собой равные выплаты, которые включают как часть основной суммы (кредита), так и проценты на него.

Формула для аннуитетного платежа: $P = \frac{PV \cdot r \cdot (1+r)^n}{(1+r)^n - 1},$ где:

• $P$ - аннуитетный платеж (сумма, которую Григорий должен выплатить ежегодно),
• $PV$ - начальная сумма кредита (10 млн рублей),
• $r$ - годовая процентная ставка (10% или 0.1),
• $n$ - количество периодов (лет, в данном случае, 4).

Подставляя значения, получаем: $P = \frac{10,000,000 \cdot 0.1 \cdot (1+0.1)^4}{(1+0.1)^4 - 1} \approx 3,154,643.44 \text{ рублей}.$

Итак, Григорий должен выплачивать примерно 3,154,643.44 рублей ежегодно, чтобы погасить кредит в банке равными ежегодными платежами.