Question

Как найти первообразную сложной функции f(x)=(2x-3)^5?

Answer 1

f(x) = (2x – 3)⁵

Возьмите неопределённый интеграл:

∫ (2x – 3)⁵ dx

Поместите (2х – 3) под знак дифференциала (или, что то же самое, сделайте замену переменной интегрирования, заменив (2x – 3) на t):

∫ (2x – 3)⁵ dx = ½ ∫ (2x – 3)⁵ d(2x – 3) =

$= \frac{1}{2} \frac{(2x - 3 {)}^{6} }{6} + c = \frac{ {(2x - 3)}^{6} }{12} + c$

Интеграл – это совокупность всех первообразных, то есть в полученном результате для нахождения конкретной первообразной Вы можете выбрать любую С. Выберем её равной 0, тогда первообразная будет иметь вид:

$\frac{ {(2x - 3)}^{6} }{12}$

Answer 2

Чтобы найти первообразную (интеграл) сложной функции f(x) = (2x - 3)^5, нужно использовать метод интегрирования, который называется замена переменной. В данном случае, мы можем воспользоваться подходящей заменой переменной, чтобы упростить интегрирование.

Пусть u = 2x - 3, тогда du/dx = 2, или du = 2dx. Мы можем решить это уравнение относительно dx: dx = du/2.

Теперь мы можем заменить переменные в интеграле:

∫(2x - 3)^5 dx = ∫u^5 * (du/2)

Теперь мы можем вынести константу 1/2 за знак интеграла:

(1/2) ∫u^5 du

Теперь проинтегрируем по переменной u:

(1/2) * (u^6 / 6) + C

Подставляем обратно u = 2x - 3:

(1/12) * (2x - 3)^6 + C

Где C - произвольная постоянная интегрирования. Полученное выражение является первообразной исходной функции f(x) = (2x - 3)^5.