Question

2sin^2(pi/2-x)-sin2x=0 , найти корни принадлежащие отрезку {5pi/2;4pi}

Answer 1

1) 2sin²(π/2-x)-sin2x=0;

2сos²x-2sinx*cosx=0; 2сosx*(сosx-sinx)=0;

сosx=0; х=π/2+πn; n∈Z; сosx-sinx=0; tgx=1;  х=π/4+πк, к∈Z

х∈[5π/2; 4π]

а) х=π/2+πn; если n=2, то х=5π/2; если n=3, то х=7π/2; остальные выходят за пределы отрезка.

б) х=π/4+πк, к∈Z; если к=3, то х=13π/4; если к=4, то х=17π/4 ∉[5π/2; 4π]; других нет.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное уравнение и найдем его корни на заданном интервале.

Уравнение: $2\sin^2\left(\frac{\pi}{2}-x\right) - \sin(2x) = 0$.

Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения этого уравнения. Прежде всего, заметим, что $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) = \cos(x)$.

Таким образом, уравнение становится:

$2\cos^2(x) - \sin(2x) = 0$.

Следующее тригонометрическое тождество, которое нам поможет, - это $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$.

Подставим это в уравнение:

$2\cos^2(x) - 2\sin(x)\cos(x) = 0$.

Мы можем вынести общий множитель $2\cos(x)$:

$2\cos(x)(\cos(x) - \sin(x)) = 0$.

Теперь у нас есть два случая:

1. $2\cos(x) = 0$ - это произойдет, когда $\cos(x) = 0$, то есть $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число.

2. $\cos(x) - \sin(x) = 0$ - это произойдет, когда $\cos(x) = \sin(x)$. Для нашего интервала это означает, что $\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\sin(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это выполняется, например, при $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$, где $k$ - целое число.

Теперь давайте проверим, какие из полученных корней принадлежат интервалу $\left[\frac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$:

1. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$: Для этого случая наш интервал не подходит, так как $\frac{\pi}{2} + k\pi > 4\pi$ для всех целых $k$.

2. $x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi$: Подставим значения: $x = \frac{\pi}{4}$, $x = \frac{9\pi}{4}$. Оба значения удовлетворяют условию $\frac{5\pi}{2} \leq x \leq 4\pi$.

Таким образом, корни на интервале $\left[\frac{5\pi}{2}, 4\pi\right]$ это $x = \frac{\pi}{4}$ и $x = \frac{9\pi}{4}$.