Question

Большая просьба, кто может решить уравнение sin(x+4pi/3)=2sin(4pi/3-x), и найти корни, удовлетворяющие условию: 0<x<3pi/2 Если можно, то подробно)

Answer 1

Sinx*cos(4pi/3)+cosx*sin(4pi/3)=2*sin(4pi/3)*cosx- 2*cos(4pi/3)*sinx
sin(4pi/3)*cosx=3*cos(4pi/3)*sinx
-корень из 3/2 * сosx=3*1/2*sinx
sinx=-корень из 3/2 *сosx*2/3
sinx=cosx* корень из/3  Все разделим на косинус х не равный 0 и получим
tgx=корень из 3 /3
x=pi/6 +pi*k

Answer 2

Уравнение sin(x + 4π/3) = 2sin(4π/3 - x) может быть решено алгебраически. Давайте разберемся подробнее.

Первый шаг: Приведение уравнения к более простому виду

Для начала, давайте заменим sin(4π/3 - x) на sin(x - 2π/3), чтобы упростить уравнение. Теперь у нас есть:

sin(x + 4π/3) = 2sin(x - 2π/3)

Второй шаг: Применение тригонометрических тождеств

Мы можем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения. В частности, нам понадобится следующее тождество:

sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применим это тождество к нашему уравнению:

sin(x)cos(4π/3) + cos(x)sin(4π/3) = 2sin(x)cos(2π/3) - 2cos(x)sin(2π/3)

Теперь у нас есть:

sin(x) * (-1/2) + cos(x) * (√3/2) = 2sin(x) * (-√3/2) - 2cos(x) * (1/2)

Третий шаг: Упрощение уравнения

Давайте упростим уравнение, сгруппировав похожие термины:

(-1/2 - 2√3/2)sin(x) + (√3/2 - 1/2)cos(x) = 0

Теперь у нас есть:

-3√3/2sin(x) + √3/2cos(x) = 0

Четвертый шаг: Использование формулы тангенса

Мы можем использовать формулу тангенса, чтобы выразить sin(x) и cos(x) через тангенс:

sin(x) = tan(x) / √(1 + tan^2(x)) cos(x) = 1 / √(1 + tan^2(x))

Подставим эти выражения в уравнение:

-3√3/2 * (tan(x) / √(1 + tan^2(x))) + √3/2 * (1 / √(1 + tan^2(x))) = 0

Пятый шаг: Упрощение уравнения

Давайте упростим уравнение, умножив обе части на √(1 + tan^2(x)):

-3√3/2 * tan(x) + √3/2 = 0

Теперь у нас есть:

-3√3 * tan(x) + √3 = 0

Шестой шаг: Решение уравнения

Теперь мы можем решить это уравнение. Давайте разделим обе части на √3:

-3 * tan(x) + 1 = 0

Теперь у нас есть:

tan(x) = 1/3

Используя таблицу значений тангенса или калькулятор, мы можем найти значения x, удовлетворяющие этому условию. В данном случае, x будет примерно равно 0.3217 радиан и 1.4636 радиан.

Ответ:

Уравнение sin(x + 4π/3) = 2sin(4π/3 - x) имеет два корня, удовлетворяющих условию 0 < x < 3π/2: x ≈ 0.3217 радиан и x ≈ 1.4636 радиан.