Question

Найдите количество корней уравнения: 2cos^2x−sin x+1=0 , если x принадлежит [0 ;2π ]

Answer 1

Ответ:

Один корень.

Пошаговое объяснение:

2соs^2x-sinx+1=0

2(1-sin^2x)-sinx+1=0

2-2sin^2x-sinx+1=0

-2sin^2x-sinx+3=0 | ×(-1)

2sin^2x+sinx-3=0

Замена: sinx=y

2y^2+y-3=0

D=1-4×(-6)=25=5^2>0

y(1)=-1+5/2×2=4/4=1

y(2)=-1-5/2×2=-6/4=-3/2

Возврат к замене:

1) sinx=1

x=pi/2+2pik; k€Z

2) sinx= -3/2

|sinx|<=1

нет решений.

Перебираем значения k:

Если k= -1

x=pi/2-2pi=-3/2pi<0

Не подходит, так как

x€ [0; 2pi]

Если k=0

x=pi/2 подходит.

Если k=1

x=pi/2+2pi=5/2pi не по

падает в заданный про

межуток.

Вывод:

Если х€ [0; 2pi], уравнение

имеет единственный корень.

Answer 2

Для нахождения количества корней уравнения в данном интервале [0, 2π], давайте рассмотрим выражение 2cos^2x - sinx + 1 = 0 более подробно.

Обозначим cos^2x как y (для упрощения записи). Тогда уравнение примет вид: 2y - sinx + 1 = 0.

Мы знаем, что -1 <= sinx <= 1 и 0 <= y <= 1, так как cos^2x является квадратом косинуса, который всегда находится в этом диапазоне.

Теперь мы можем рассмотреть уравнение как функцию от y и sinx: f(y, sinx) = 2y - sinx + 1. Наша задача - определить, в каких областях этой функции f(y, sinx) уравнение равно нулю.

Когда sinx = -1, у нас будет f(y, -1) = 2y - (-1) + 1 = 2y + 2. Это выражение равно нулю при y = -1, но у нас ограничение, что y должно быть между 0 и 1, поэтому данная точка не удовлетворяет уравнению.

Когда sinx = 1, у нас будет f(y, 1) = 2y - 1 + 1 = 2y. Это выражение равно нулю при y = 0.

Таким образом, в случае sinx = 1 существует ровно один корень уравнения при y = 0.

Мы также можем рассмотреть случай, когда -1 < sinx < 1. В этом диапазоне значение sinx меньше модуля 1, и максимальное значение функции f(y, sinx) равно 2 - 1 + 1 = 2, что также больше нуля. Поэтому в этом диапазоне значение функции всегда положительно, и корней нет.

Итак, в интервале [0, 2π] у уравнения 2cos^2x - sinx + 1 = 0 есть только один корень, который соответствует значению x, при котором sinx = 1, то есть x = π/2.