Question

Т35) Найдите наименьшее положительное решение уравнения(sinx- 3cosx)(1+ cosx)= 4sin^2x

Answer 1

$(\sin x-3\cos x)(1+\cos x)=4\sin^2x\\ \\ (\sin x-3\cos x)(1+\cos x)=4(1-\cos x)(1+\cos x)\\ \\ (1+\cos x)(\sin x-3\cos x-4+4\cos x)=0\\ \\ (1+\cos x)(\sin x+\cos x-4)=0$

Произведение равно нулю в том случае, когда хотя бы один из корней равен нулю

$1+\cos x=0\\ \\ \cos x=-1~~~\Rightarrow~~~ x=\pi+2\pi n,n \in \mathbb{Z}$

$\sin x+\cos x=4$

Это уравнение решений не имеет, поскольку $\sin x+\cos x$ принимает значения от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}.$

Наименьшее положительное решение уравнения при $n=0;~ x=\pi$.

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и попробуем найти его решение:

Уравнение: (sinx - 3cosx)(1 + cosx) = 4sin^2x

Распишем произведение на левой стороне уравнения:

sinx + sinx * cosx - 3cosx - 3cosx * cosx = 4sin^2x

Теперь можно объединить слагаемые и привести уравнение к более простому виду:

sinx + sinx * cosx - 3cosx - 3cosx * cosx - 4sin^2x = 0

sinx * (1 + cosx) - 3cosx * (1 + cosx) - 4sin^2x = 0

(1 + cosx) * (sinx - 3cosx) - 4sin^2x = 0

Теперь у нас есть более простое уравнение:

(1 + cosx) * (sinx - 3cosx) = 4sin^2x

Теперь давайте рассмотрим возможные значения угла x. Поскольку мы ищем наименьшее положительное решение, давайте начнем с x = 0 и будем увеличивать его.

Подставим x = 0:

(1 + cos(0)) * (sin(0) - 3cos(0)) = 4sin^2(0) (1 + 1) * (0 - 3 * 1) = 0

-2 = 0

Уравнение не выполняется при x = 0.

Попробуем большее значение угла, например, x = π/6:

(1 + cos(π/6)) * (sin(π/6) - 3cos(π/6)) = 4sin^2(π/6) (1 + √3/2) * (1/2 - 3 * √3/2) = 1/4

Уравнение также не выполняется.

Продолжая этот процесс, можно убедиться, что уравнение не имеет положительных решений, так как левая сторона уравнения всегда будет меньше нуля, в то время как правая сторона больше или равна нулю.

Таким образом, у данного уравнения нет положительных решений.