Question

Найти наименьшее значение функции y(x)=3-cos x-48/pi x+19 на отрезке (-2pi/3 ;0)

Answer 1

Ответ:

$22$

Пошаговое объяснение:

$y=3\cos x-\frac{48}{\pi}x+19$

$y'=(3\cos{x}-\frac{48}{\pi}x+19)'= 3\cdot(-\sin{x})-\frac{48}{\pi}+0=-3\sin{x}-\frac{48}{\pi}$

$y'=0\\ \\-3\sin{x}-\frac{48}{\pi}=0\\ \\-3\sin{x}=\frac{48}{\pi}\\ \\\sin{x}=-\frac{16}{\pi}$

нет корней, так как $-1\leq \sin{x}\leq 1$, а $-\frac{16}{\pi}$

$y(-\frac{2\pi}{3})=3\cos(-\frac{2\pi}{3})-\frac{48}{\pi}\cdot (-\frac{2\pi}{3})+19=3\cos\frac{2\pi}{3}+32+19=3\cos\frac{3\pi-\pi}{3} +51=\\ \\=3\cos{(\frac{3\pi}{3}-\frac{\pi}{3} )}+51=3\cos{(\pi-\frac{\pi}{3} )}+51=3\cdot{(-\cos\frac{\pi}{3} )}+51=3\cdot(-\frac{1}{2} )+51=\\\\=-\frac{3}{2}+51=-1,5+51=49,5\\\\y(0)=3\cos0- \frac{48}{\pi}\cdot0+19=3\cdot1-0+19=3+19=22$

значит, $y$наим$=22$

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции y(x) на заданном интервале (-2π/3; 0), нужно выполнить следующие шаги:

1. Вычислите производную функции y(x) по переменной x.
2. Найдите критические точки, где производная равна нулю или не существует.
3. Оцените значения функции y(x) в найденных критических точках и на концах интервала.
4. Выберите наименьшее из полученных значений.

Давайте начнем:

1. Производная функции y(x): y'(x) = sin(x) - 48/π

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю: sin(x) - 48/π = 0 sin(x) = 48/π

   На интервале (-2π/3; 0) значение sin(x) положительно, так как синус положителен во второй и третьей четвертях. Однако 48/π ≈ 15.28, что больше 1, что невозможно для значения синуса. Поэтому на данном интервале нет точек, где производная равна нулю.

3. Оценим значения функции y(x):

   • Подставим x = -2π/3: y(-2π/3) = 3 - cos(-2π/3) - 48/π * (-2π/3) + 19 ≈ 3 - (-0.5) + 32 + 19 ≈ 53.5

   • Подставим x = 0: y(0) = 3 - cos(0) - 48/π * 0 + 19 = 3 - 1 + 19 = 21

4. Наименьшее значение функции на интервале (-2π/3; 0) равно 21, которое достигается при x = 0.

Итак, наименьшее значение функции y(x) на интервале (-2π/3; 0) равно 21.