Question

Докажите неравенство x1 ≤ (x1+...+xn)/n ≤ xn Где x1 ≤ x2 ... ≤ xn

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:в приложении

Answer 2

Данное неравенство является следствием неравенства Коши для средних. Мы можем воспользоваться этим неравенством, чтобы доказать данное утверждение.

Неравенство Коши для средних гласит:

Для любых положительных чисел $a_1, a_2, ..., a_n$ и $b_1, b_2, ..., b_n$ справедливо неравенство:

$\frac{a_1 + a_2 + ... + a_n}{n} \leq \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \cdot ... \cdot a_n} \leq \frac{b_1 + b_2 + ... + b_n}{n}$

В данном случае мы можем взять $a_1 = x_1, a_2 = x_1, ..., a_n = x_1$ (n раз) и $b_1 = x_1, b_2 = x_n, ..., b_n = x_n$ (n раз).

Подставляя значения в неравенство Коши для средних, получим:

$\frac{n \cdot x_1}{n} \leq \sqrt[n]{x_1^n} \leq \frac{x_1 + x_n + ... + x_n}{n}$

Упрощая выражения, получим:

$x_1 \leq x_1 \leq \frac{x_1 + x_n + ... + x_n}{n}$

Таким образом, доказано первое неравенство:

$x_1 \leq \frac{x_1 + x_n + ... + x_n}{n}$

Аналогично, выбираем $a_1 = x_n, a_2 = x_n, ..., a_n = x_n$ (n раз) и $b_1 = x_1, b_2 = x_n, ..., b_n = x_n$ (n раз).

Подставляя в неравенство Коши для средних, получаем:

$\frac{x_n + x_n + ... + x_n}{n} \leq \sqrt[n]{x_n^n} \leq \frac{x_1 + x_n + ... + x_n}{n}$