Question

Помогите решить: 2 корень из 3sin^2(x+3пи/2)+sin2x=0

Answer 1

Ответ:

$\frac{\pi}{2} +\pi k,~~-\frac{\pi}{3}+\pi n,~~k,n\in Z$

Пошаговое объяснение:

$2 \sqrt{3}\sin^2(x+\frac{3\pi}{2})+\sin{2x}=0 \\ \\ 2 \sqrt{3}\sin^2(\frac{3\pi}{2}+x)+2\sin{x}\cos{x}=0 \\ \\ 2 \sqrt{3}\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}=0 \\ \\ 2\cos{x}\cdot (\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x})=0$

$\left[\begin{array}{c}{\cos{x}=0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}&{\sqrt{3}\cos{x}+\sin{x}=0~~~~|:\cos x\neq0}\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in Z }&{\frac{\sqrt{3}\cos{x}}{\cos{x}}+\frac{\sin{x}}{\cos{x}}=\frac{0}{\cos{x}} }\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in Z }&{\sqrt{3}+tg{x}=0 }\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in Z }&{tg{x}=-\sqrt{3} }\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in Z }&{x=arctg(-\sqrt{3})+\pi n,~n \in Z }\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in Z }&{x=-arctg \sqrt{3}+\pi n,~n \in Z }\end{array}$

$\left[\begin{array}{c}{x=\frac{\pi}{2}+\pi k, ~k\in Z }&{x=-\frac{\pi}{3}+ \pi n,~n \in Z }\end{array}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение и постараемся его решить:

$$2\sqrt{3}\sin^2\left(x+\frac{3\pi}{2}\right) + \sin(2x) = 0$$

Заметим, что $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$, и также заметим, что $\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right) = -\cos(x)$. Теперь давайте заменим это в уравнении:

$$2\sqrt{3}(-\cos(x))^2 + 2\sin(x)\cos(x) = 0$$

$$2\sqrt{3}\cos^2(x) + 2\sin(x)\cos(x) = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$2\cos(x)(\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x)) = 0$$

Так как умножение на 0 даёт ноль, одно из слагаемых в скобках должно быть равно нулю:

1. $2\cos(x) = 0 \implies \cos(x) = 0$. Это верно для $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k$ - целое число.
2. $\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x) = 0$.

Чтобы решить второе уравнение, поделим обе стороны на $\cos(x)$:

$$\sqrt{3} + \tan(x) = 0$$

$$\tan(x) = -\sqrt{3}$$

Это уравнение имеет решения при $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$, где $k$ - целое число.

Таким образом, общее решение данного уравнения состоит из двух наборов значений $x$:

1. $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$.
2. $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$.

Где $k$ - целое число.