Question

Розв'яжіть будь ласка дуже треба y"-y'-6y=5e^3x

Answer 1

y"-y'-6y=5e³ˣ

характеристическое уравнение для однородного к²-к-6=0; по Виета к=3; к=-2

Общее решение однородного уо.о.=с₁*е³ˣ+с₂е⁻²ˣ

Т.к. к=3 является корнем характеристического уравнения, то частное решение неоднородного уравнения по виду правой части  имеет такой вид уч.=а*х*е³ˣ, найдем производные уч.'=ае³ˣ+3хае³ˣ=

ае³ˣ(1+3х); уч.''=3ае³ˣ(1+3х)+3ае³ˣ=6ае³ˣ+9ахе³ˣ

подставим у, у', у'' в уравнение. 6ае³ˣ+9ахе³ˣ-ае³ˣ-3хае³ˣ-6а*х*е³ˣ=5е³ˣ

6а+9ах-а-3ха-6а*х=5

5а=5⇒а=1; уч.=х*е³ˣ. тогда общее решение неоднородного равно сумме общего решения однородного и частного решения неоднородного, т.е. У*=х*е³ˣ+с₁*е³ˣ+с₂е⁻²ˣ

Answer 2

Для вирішення даного диференціального рівняння другого порядку потрібно виконати кілька кроків.

1. Спочатку знайдемо загальний розв'язок однорідного рівняння (без правої частини): y'' - y' - 6y = 0

Характеристичне рівняння: r^2 - r - 6 = 0

Знайдемо корені цього рівняння:

r1 = (1 + √25) / 2 = 3 r2 = (1 - √25) / 2 = -2

Отже, загальний розв'язок однорідного рівняння має вигляд: y_h = c1 * e^(3x) + c2 * e^(-2x),

де c1 і c2 - довільні константи.

2. Тепер знайдемо частинний розв'язок неоднорідного рівняння: y_p = Ae^(3x),

де A - невідома константа, яку треба знайти.

3. Знайдемо похідні від y_p: y_p' = 3Ae^(3x), y_p'' = 9Ae^(3x).

Підставимо отримані значення у вихідне рівняння: 9Ae^(3x) - 3Ae^(3x) - 6Ae^(3x) = 5e^(3x).

Скоротимо на Ae^(3x): 9 - 3 - 6 = 5.

Отже, A = 1.

Отже, частинний розв'язок має вигляд: y_p = e^(3x).

4. Загальний розв'язок неоднорідного рівняння складається з загального розв'язку однорідного рівняння та частинного розв'язку неоднорідного рівняння: y = y_h + y_p = c1 * e^(3x) + c2 * e^(-2x) + e^(3x) = (c1 + 1) * e^(3x) + c2 * e^(-2x),

де c1 і c2 - довільні константи.

Це і є загальний розв'язок заданого диференціального рівняння.