Question

О - точка пересечения медиан треугольника ABC и вектор AO = вектор a, AB = b. Разложить вектор BC по векторам a и b.

Answer 1

Ответ:

$\overline{AO}=\vec{a}\ \ ,\ \ \overline{AB}=\vec{b}$

AM - медиана, проведённая из вершины А к стороне ВС , М - середина ВС  ⇒  ВМ=МС .  Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1 , считая от вершины.

$\overline{AM}=\overline{AO}+\overline{OM}=\vec{a}+\dfrac{1}{2}\, \vec{a}=\dfrac{3}{2}\, \vec{a}$

$\overline{BM}=\overline{AM}-\overline{AB}=\dfrac{3}{2}\, \vec{a}-\vec{b}\\\\\overline{BC}=2\cdot \overline{BM}=2\cdot \Big(\dfrac{3}{2}\, \vec{a}-\vec{b}\Big)=3\vec{a}-2\vec{b}$

Answer 2

Для разложения вектора BC по векторам a и b, нам понадобится найти вектор AC, так как вектор BC = AC - AB.

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая называется центром тяжести (геометрический центр масс) треугольника. Эта точка делит каждую медиану в отношении 2:1 относительно вершины. Поэтому точка пересечения медиан O делит медиану AO в отношении 2:1. Это означает, что:

AO = 2/3 * OQ, где Q - середина стороны BC.

Теперь мы можем выразить вектор QO через вектор AO:

QO = AO - AQ = AO - 1/3 * AO = 2/3 * AO.

Таким образом, мы нашли вектор QO. Теперь можем выразить вектор CO через вектор QO:

CO = QO - QC = 2/3 * AO - 1/2 * AC.

Так как вектор AC = AO + OC:

CO = 2/3 * AO - 1/2 * (AO + OC) = 2/3 * AO - 1/2 * AO - 1/2 * OC = 1/6 * AO - 1/2 * OC.

Теперь у нас есть вектор CO, выраженный через вектор AO и OC. Мы также знаем, что вектор BC = AC - AB. Подставляя векторы AC и AB, получаем:

BC = (1/6 * AO - 1/2 * OC) - b.

Теперь разложим вектор BC по векторам a и b:

BC = BC_a + BC_b,

где BC_a - проекция вектора BC на вектор a, BC_b - проекция вектора BC на вектор b.

Проекция вектора BC на вектор a:

BC_a = (BC * a) / |a| * (a / |a|),

где BC * a - скалярное произведение векторов BC и a, |a| - длина вектора a.

Проекция вектора BC на вектор b:

BC_b = (BC * b) / |b| * (b / |b|),

где BC * b - скалярное произведение векторов BC и b, |b| - длина вектора b.

Таким образом, вы можете разложить вектор BC по векторам a и b, используя найденные проекции BC_a и BC_b.