Question

Докажите тождество ((1-4sin^2α*cos^2α)/(sinα+cosα)^2) +2sinα*cosα=1

Answer 1

$\dfrac{1-4\sin^2\alpha\cos^2\alpha}{(\sin\alpha+\cos \alpha)^2}+2\sin\alpha\cos \alpha=\dfrac{1-\sin^22\alpha}{1+\sin 2\alpha}+\sin 2\alpha=\\ \\ =\dfrac{(1-\sin2\alpha)(1+\sin2\alpha)}{1+\sin2\alpha}+\sin2\alpha=1-\sin2\alpha+\sin2\alpha=1$

Answer 2

Давайте разберёмся с данным тождеством:

((1 - 4sin^2α * cos^2α) / (sinα + cosα)^2) + 2sinα * cosα = 1

Начнем с упрощения числителя дроби в первой части выражения:

1 - 4sin^2α * cos^2α = 1 - 4sin^2α(1 - sin^2α) [Используем тригонометрическую идентичность: cos^2α = 1 - sin^2α] = 1 - 4sin^2α + 4sin^4α = (1 - 2sin^2α)^2

Теперь упростим знаменатель:

(sinα + cosα)^2 = sin^2α + 2sinα * cosα + cos^2α = 1 + 2sinα * cosα [Используем тригонометрическую идентичность: sin^2α + cos^2α = 1]

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в выражение:

((1 - 4sin^2α * cos^2α) / (sinα + cosα)^2) + 2sinα * cosα = ((1 - 2sin^2α)^2 / (1 + 2sinα * cosα)) + 2sinα * cosα

Попробуем упростить это выражение дальше. Заметим, что у нас есть квадрат числителя, и он напоминает выражение синуса двойного угла:

sin(2α) = 2sinα * cosα

Также, мы видим сходство с формулой для разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Применяя эти идентичности, получаем:

((1 - 2sin^2α)^2 / (1 + 2sinα * cosα)) + 2sinα * cosα = ((1 - 2sin^2α + 4sin^4α) / (1 + 2sinα * cosα)) + sin(2α)

Сейчас давайте посмотрим на числитель дроби в числителе:

1 - 2sin^2α + 4sin^4α = (1 - 2sin^2α + 2sin^4α) + 2sin^4α = (1 - (sqrt(2) * sinα)^2)^2 + 2sin^4α = (1 - sqrt(2) * sinα)^2 + 2sin^4α

Заметим, что это выражение аналогично разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

Применим это к нашему числителю:

(1 - sqrt(2) * sinα)^2 + 2sin^4α = (1 - sqrt(2) * sinα + sqrt(2) * sinα)(1 - sqrt(2) * sinα - sqrt(2) * sinα) + 2sin^4α = (1 - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α) + 2sin^4α = 1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α

Теперь мы можем подставить это обратно в наше выражение:

((1 - 2sin^2α + 4sin^4α) / (1 + 2sinα * cosα)) + sin(2α) = (1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α) / (1 + 2sinα * cosα) + sin(2α)

Применим знание, что sin(2α) = 2sinα * cosα:

= (1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α) / (1 + sin(2α)) + sin(2α)

Теперь мы можем попробовать упростить числитель дроби:

1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α = (1 - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α) + 2sin^4α = (1 - sqrt(2) * sinα)^2 + 2sin^4α

Мы видим, что это выражение снова является квадратом и может быть упрощено:

(1 - sqrt(2) * sinα)^2 + 2sin^4α = (1 - sqrt(2) * sinα + sqrt(2) * sinα)(1 - sqrt(2) * sinα - sqrt(2) * sinα) + 2sin^4α = (1 - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α) + 2sin^4α = 1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α

Таким образом, мы видим, что числитель не упрощается дальше, и мы получаем исходное выражение для числителя.

Таким образом, исходное выражение можно упростить до:

(1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α) / (1 + sin(2α)) + sin(2α) = (1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α + (1 + sin(2α)) * sin(2α)) / (1 + sin(2α))

Раскроем скобки в числителе:

1 + 2sin^4α - 2sqrt(2) * sinα + 2sin^2α + sin(2α) + sin^2(2α)

Теперь преобразуем это выражение:

1 + 2sin^4α +