Question

скорость точки движущейся прямолинейно задана уравнением v=t^2-4t+3. Вычислите ее путь за 4-ую секунду

Answer 1

$v=t^2-4t+3$

Скорость тела есть первая производная от пути. Значит, чтобы найти путь по известной зависимости скорости, нужно вычислить интеграл от скорости.

Так как нам нужен путь за четвертую секунду, то пределами интегрирования будут значения $t_1=3$ и $t_2=4$.

$\int\limits^4_3 {(t^2-4t+3)} \, dt=\left\left(\dfrac{t^3}{3} -4\cdot\dfrac{t^2}{2} +3t\right)\right|^4_3=\left\left(\dfrac{t^3}{3} -2t^2+3t\right)\right|^4_3=$

$=\left(\dfrac{4^3}{3} -2\cdot4^2+3\cdot4\right)-\left(\dfrac{3^3}{3} -2\cdot3^2+3\cdot3\right)=$

$=\left(\dfrac{64}{3} -32+12\right)-\left(9-18+9\right)=\dfrac{64}{3} -20=\dfrac{4}{3}$

Ответ: 4/3

Answer 2

Для вычисления пути, пройденного точкой, используем интеграл от функции скорости. У вас дано уравнение скорости: v = t^2 - 4t + 3.

Чтобы вычислить путь за 4-ую секунду, выполним следующие шаги:

1. Найдем функцию перемещения (путь) s(t) путем интегрирования уравнения скорости по времени:

s(t) = ∫(v(t) dt) = ∫((t^2 - 4t + 3) dt)

2. Вычислим неопределенный интеграл:

s(t) = (1/3)t^3 - 2t^2 + 3t + C

где C - постоянная интегрирования.

3. Теперь мы можем найти путь, пройденный за 4-ую секунду, вычислив s(4):

s(4) = (1/3)(4^3) - 2(4^2) + 3(4) + C = (64/3) - 32 + 12 + C = 20 + C

Так как у нас нет конкретных начальных условий или ограничений, постоянная C остается произвольной.

Итак, путь, пройденный точкой за 4-ую секунду, равен 20 + C единицам длины.