Question

Виктор прекрасно понимает, что шанс поступить сразу после окончания школы равен 0,7, а в каждый последующий год вероятность успешного поступления будет равна 0,4. Какое наименьшее число попыток сдачи экзаменов потребуется для того, чтобы вероятность поступления в любимый вуз была не менее 99%?

Answer 1

Ответ:

8

Пошаговое объяснение:

Виктор или поступит в первый год, или не поступит в первый год и поступит во второй, или не поступит в первый и во второй и поступит в третий и т. д. Условно говоря, там, где "или" — складываем, а там, где "и" — умножаем. Тогда неравенство будет выглядеть так:

0,7 + 0,3 * 0,4 + 0,3 * 0,6 * 0,4 + 0,3 * 0,6 * 0,6 * 0,4 + ... ≥ 0,99.

Пусть попыток было x. Тогда последнее произведение неравенства равно 0,3 * 0,6ˣ⁻¹ * 0,4. Вынесем за скобки 0,3 * 0,4:

0,7 + 0,3 * 0,4 * (1 + 0,6 + 0,6² + ... + 0,6ˣ⁻¹) ≥ 0,99

В скобках — сумма членов геометрической прогрессии, она равна

$\dfrac{1\cdot(1-0{,}6^{x-1})}{1-0{,}6}=\dfrac{1-0{,}6^{x-1}}{0{,}4}$. Неравенство преобразуется к следующему:

$0{,}7+0{,}3\cdot(1-0{,}6^{x-1})\geq 0{,}99$

При увеличении x уменьшается 0,6ˣ⁻¹, так как 0,6 < 1, а значит, левая часть монотонно увеличивается.

Заметим, что при x = 7 вероятность приближённо равна 0,986 < 0,99, а при x = 8 — 0,992 > 0,99. Значит, наименьшее число попыток равно 8.

Answer 2

Давайте рассчитаем, сколько попыток сдачи экзаменов потребуется для того, чтобы вероятность поступления была не менее 99%.

Пусть X - количество попыток, которые Виктор предпримет для поступления. Тогда вероятность не поступить в каждую из попыток будет равна 1 - вероятность поступить. Используя эти данные, мы можем рассчитать вероятность не поступить во всех попытках:

P(не поступить во всех попытках) = (1 - 0.7) * (1 - 0.4) * (1 - 0.4) * ... * (1 - 0.4) (X раз)

Мы хотим, чтобы эта вероятность была меньше или равна 1% (или 0.01). То есть:

P(не поступить во всех попытках) ≤ 0.01

Теперь мы можем решить это неравенство и найти минимальное значение X. Для этого возьмем логарифм от обеих частей неравенства:

ln(P(не поступить во всех попытках)) ≤ ln(0.01)

Используя свойство логарифма ln(a * b) = ln(a) + ln(b), преобразуем левую часть неравенства:

ln((1 - 0.7) * (1 - 0.4) * (1 - 0.4) * ... * (1 - 0.4)) ≤ ln(0.01)

Учитывая, что каждая попытка имеет одинаковую вероятность неудачи (0.4), мы можем записать это как:

ln((1 - 0.4)^X) ≤ ln(0.01)

Теперь применим свойство логарифма ln(a^b) = b * ln(a):

X * ln(1 - 0.4) ≤ ln(0.01)

Делим обе части неравенства на ln(1 - 0.4):

X ≤ ln(0.01) / ln(1 - 0.4)

Используя калькулятор, вычисляем правую часть неравенства:

X ≤ ln(0.01) / ln(0.6)

X ≤ 4.786

Таким образом, минимальное количество попыток сдачи экзаменов, которое потребуется Виктору, чтобы вероятность поступления была не менее 99%, равно 5.