Question

Вычислить интеграл dx/√81-x^2

Answer 1

Если что - спрашивай. Отвечу

Answer 2

Для вычисления данного интеграла, мы можем воспользоваться методом подстановки.

Пусть $u = x$, тогда $du = dx$. Мы также видим, что подкоренное выражение похоже на квадратный корень из $9^2 - x^2$, что подсказывает нам о возможности использования тригонометрической подстановки.

Подставим $x = 9 \sin(\theta)$, где $\theta$ - это новая переменная. Тогда $dx = 9 \cos(\theta) d\theta$.

Таким образом, интеграл примет следующий вид: $\int \frac{dx}{\sqrt{81 - x^2}} = \int \frac{9 \cos(\theta) d\theta}{\sqrt{81 - 81 \sin^2(\theta)}} = \int \frac{9 \cos(\theta) d\theta}{\sqrt{81 \cos^2(\theta)}} = \int \frac{9 \cos(\theta) d\theta}{9 \cos(\theta)} = \int d\theta$

Интеграл от $d\theta$ просто равен $\theta + C$, где $C$ - константа интегрирования.

Но нам нужно выразить $\theta$ через $x$, так как мы начали с подстановки $x = 9 \sin(\theta)$. Из этой подстановки можно найти, что $\sin(\theta) = \frac{x}{9}$, а следовательно, $\theta = \arcsin\left(\frac{x}{9}\right)$.

Итак, окончательный ответ: $\int \frac{dx}{\sqrt{81 - x^2}} = \arcsin\left(\frac{x}{9}\right) + C$

Где $C$ - произвольная константа.