Question

Log14(x2+64)+log4(x+1)+2<0 решите пж

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{x^2+64 >0} \atop {x+1>0}} \right.$     $\left \{ {{x\in (-\infty;+\infty)} \atop {x>-1}} \right.$       x ∈(-1;+∞)

$log_{14}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+2$

$log_{14}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+log_{4}16$

$log_{14}(x^2+64) +log_{4}16(x+1)$

$\frac{log_{4}(x^2+64)}{log_{4}14} +log_{4}16(x+1)$

$log_{4}14 >0$

$log_{4}(x^2+64)+ log_{4}14\cdot log_{4}16(x+1)$

$log_{4}(x^2+64) < - log_{4}14\cdot log_{4}16(x+1)$

Может  все-таки опечатка и в первом логарифме основание 4:

$log_{4}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+2$

$log_{4}(x^2+64)+log_{4}(x+1)+log_{4}16$

$log_{4}(x^2+64) +log_{4}16(x+1)$

$log_{4}(x^2+64)$

$log_{4}(x^2+64)$

$log_{4}(x^2+64)$

Логарифмическая функция с основанием 4 возрастающая, поэтому

$x^2+64$

$x^2+64 -\frac{1}{16(x+1)}$

$\frac{16\cdot (x+1)\cdot (x^2+64)- 1}{16(x+1)}$

$\frac{16x^3+16x^2+1024x+1024- 1}{16(x+1)}$

$\frac{16x^3+16x^2+1024x+1023}{16(x+1)}$

Решаем методом интервалов:

нули числителя: х ≈ -0,999

нули знаменателя: х =-1

Отмечаем  эти точки на ОДЗ и расставляем знаки:

(-1) __-_ (-0,999) __+__  

О т в е т. (-1;≈ -0,999)

Answer 2

Давайте решим неравенство поэтапно:

1. Начнем с логарифмического неравенства:

   $\log_{14}(x^2 + 64) + \log_4(x + 1) + 2 < 0$.

2. Используем свойство логарифмов $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(bc)$:

   $\log_{14}((x^2 + 64)(x + 1)^2) + 2 < 0$.

3. Перейдем от логарифмической формы к экспоненциальной:

   $(x^2 + 64)(x + 1)^2 < 14^{-2}$.

4. Раскроем квадрат во втором множителе:

   $(x^2 + 64)(x^2 + 2x + 1) < \frac{1}{196}$.

5. Упростим левую сторону неравенства, раскрыв скобки и объединив подобные члены:

   $x^4 + 2x^3 + 65x^2 + 2x + 64 < \frac{1}{196}$.

6. Теперь мы можем перенести все члены на одну сторону и упростить:

   $x^4 + 2x^3 + 65x^2 + 2x + \frac{3841}{196} < 0$.

7. К сожалению, решение этого уравнения в аналитической форме довольно сложное. Для нахождения приближенных численных решений можно воспользоваться численными методами или графиком.

Итак, неравенство $\log_{14}(x^2 + 64) + \log_4(x + 1) + 2 < 0$ имеет довольно сложное аналитическое решение, и для получения численных результатов лучше использовать численные методы или график.