Question

√(x-2) (x^2-(5+a)x+5a)=0 в залежності від значення параметра а? помогитеее​

Answer 1

$\sqrt{x-2}\cdot (x^2-(5+a)+5a)=0$

ОДЗ:  $x-2 \geq 0$   ⇒   $x\geq 2$

Произведение двух множителей равно 0, когда хотя бы один из них равен 0, а другой при этом не теряет своего смысла ( для этого было найдено ОДЗ)

$\sqrt{x-2}=0$  или    $x^2-(5+a)+5a=0$

x-2=0    или    $D=(5+a)^2-4\cdot 5a=(5-a)^2$

x=2        или      x=5   или     x=a

При a  ≤2  уравнение имеет   два корня   х=2 или  x=5

( третий корень х=а  или совпадает с первым x=2 или   меньше 2 и значит не удовл ОДЗ)

При а > 2   уравнение имеет три корня    х=2   или    x=5    или  х=а

Answer 2

Задача полягає у визначенні значень параметра a, при яких рівняння √(x-2) (x^2-(5+a)x+5a)=0 має корені.

Для вирішення цього завдання потрібно врахувати, що рівняння має корені, якщо вираз, який дорівнює нулю, розкладається на добуток, у якому кожний добуток дорівнює нулю. Тобто, ми маємо врахувати дві можливі ситуації:

1. √(x-2) = 0
2. x^2 - (5+a)x + 5a = 0

Давайте розглянемо ці дві ситуації окремо.

1. √(x-2) = 0 Це рівняння має лише один корінь: x = 2. Однак цей корінь не підходить для другого рівняння, оскільки у другому рівнянні ми маємо x^2 в знаменнику √(x-2), і це призводить до виразів, які не можуть дорівнювати нулю.

2. x^2 - (5+a)x + 5a = 0 Це квадратне рівняння може мати корені, якщо дискримінант (D = b^2 - 4ac) дорівнює або більше нуля (коли є два різних корені) або дорівнює нулю (коли є один корінь кратності 2). Давайте знайдемо умови для дискримінанта:

D = (5+a)^2 - 4 * 1 * 5a

D = 25 + 10a + a^2 - 20a D = a^2 - 10a + 25

Тепер, якщо D ≥ 0, то рівняння має корені: a^2 - 10a + 25 ≥ 0

(a - 5)^2 ≥ 0

Це нерівність справедлива для будь-якого значення a. Отже, друге рівняння завжди матиме корені.

Отже, зводячи усе разом, перше рівняння має один корінь x = 2, а друге рівняння завжди має корені.

Таким чином, рівняння √(x-2) (x^2-(5+a)x+5a)=0 має корені для будь-якого значення параметра a.