Question

В треугольнике ABC отрезок DE - средняя линия, параллельная стороне AB. Площадь треугольника ABC равна 48. Найдите площадь трапеции ABED.​

Answer 1

Ответ:

24

Пошаговое объяснение:

Треугольник CDE подобен ABC и его площадь вдвое меньше площади ABC. Значит площадь ABED 24

Answer 2

Пусть точка F - точка пересечения средней линии DE и боковой стороны AC треугольника ABC.

Так как DE || AB и EF - средняя линия треугольника ABC, то EF = DE. По свойству средней линии также известно, что EF = $\frac{1}{2}AC$.

Площадь треугольника ABC можно выразить через боковую сторону AC и высоту, опущенную на неё из вершины B:

$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH$

где BH - высота треугольника ABC.

Так как треугольник ABC равнобедренный (DE || AB и EF || AC), то высота BH делит треугольник ABC на два равных по площади треугольника. Значит, площадь одного из этих треугольников равна $S_{ABC} / 2$.

$S_{ABC} / 2 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BH / 2 = \frac{1}{4} \cdot AC \cdot BH$

Из условия площади треугольника ABC:

$S_{ABC} = 48$

можем получить:

$\frac{1}{4} \cdot AC \cdot BH = 48$

Теперь рассмотрим площадь трапеции ABED. Трапеция можно разбить на два треугольника: ADE и BEC. Площадь трапеции равна сумме площадей этих треугольников:

$S_{ABED} = S_{ADE} + S_{BEC}$

Площадь треугольника ADE можно выразить через сторону AB и высоту, опущенную на сторону DE из вершины A:

$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD$

Так как DE - средняя линия треугольника ABC, то длина DE равна половине стороны BC:

$DE = \frac{1}{2} \cdot BC$

Теперь можно выразить длину AD через DE:

$AD = AC - CD = AC - \frac{1}{3} \cdot BC$

Подставляем это в формулу для площади треугольника ADE:

$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left(AC - \frac{1}{3} \cdot BC\right)$

Теперь рассмотрим площадь треугольника BEC:

$S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot EC \cdot BH$

Так как EF = $\frac{1}{2}AC$ и DE = $\frac{1}{2}BC$, то можно выразить EC через EF и DE:

$EC = EF + FC = \frac{1}{2}AC + \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}(AC + BC)$

Подставляем это в формулу для площади треугольника BEC:

$S_{BEC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}(AC + BC) \cdot BH = \frac{1}{4}(AC + BC) \cdot BH$

Теперь можем выразить площадь трапеции ABED через площади треугольников ADE и BEC:

$S_{ABED} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot \left(AC - \frac{1}{3} \cdot BC\right) + \frac{1}{4}(AC + BC) \cdot BH$

Теперь подставляем известные значения:

$S_{ABED} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot \left(48 - \frac{1}{3} \cdot BC\right) + \frac{1}{4}(48 + BC) \cdot 2$