Question

Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если sin⁡ α=-3/5 и 3π/2<α<2π

Answer 1

Так как $\dfrac{3\pi }{2}$, то рассматриваемый угол принадлежит 4 четверти, где положительным является только косинус.

Из основного тригонометрического тождества выразим косинус:

$\sin^2\alpha +\cos^2\alpha =1$

$\cos\alpha =\sqrt{1-\sin^2\alpha}$

$\cos\alpha =\sqrt{1-\left(-\dfrac{3}{5}\right)^2}=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\sqrt{\dfrac{16}{25}}=\dfrac{4}{5}$

Тангенс есть отношение синуса к косинусу:

$\mathrm{tg}\alpha =\dfrac{\sin\alpha }{\cos\alpha}$

$\mathrm{tg}\alpha =-\dfrac{3}{5} :\dfrac{4}{5} =-\dfrac{3}{4}$

Котангенс есть величина, обратная тангенсу:

$\mathrm{ctg}\alpha =\dfrac{1}{\mathrm{tg}\alpha }$

$\mathrm{ctg}\alpha =1 :\left(-\dfrac{3}{4}\right) =-\dfrac{4}{3}$

Answer 2

Дано, что sin⁡ α = -3/5 и 3π/2 < α < 2π.

Мы можем использовать следующие тригонометрические идентичности:

cos⁡ α = ±√(1 - sin² α) tan⁡ α = sin⁡ α / cos⁡ α cot⁡ α = 1 / tan⁡ α sec⁡ α = 1 / cos⁡ α csc⁡ α = 1 / sin⁡ α

Начнем с вычисления cos⁡ α: cos⁡ α = ±√(1 - sin² α) cos⁡ α = ±√(1 - (-3/5)²) cos⁡ α = ±√(1 - 9/25) cos⁡ α = ±√(25/25 - 9/25) cos⁡ α = ±√(16/25) cos⁡ α = ±4/5

Так как 3π/2 < α < 2π, а синус отрицательный, то cos⁡ α должен быть положительным. Поэтому cos⁡ α = 4/5.

Теперь вычислим остальные функции:

tan⁡ α = sin⁡ α / cos⁡ α tan⁡ α = (-3/5) / (4/5) tan⁡ α = -3/4

cot⁡ α = 1 / tan⁡ α cot⁡ α = 1 / (-3/4) cot⁡ α = -4/3

sec⁡ α = 1 / cos⁡ α sec⁡ α = 1 / (4/5) sec⁡ α = 5/4

csc⁡ α = 1 / sin⁡ α csc⁡ α = 1 / (-3/5) csc⁡ α = -5/3

Итак, значения остальных тригонометрических функций равны: cos⁡ α = 4/5 tan⁡ α = -3/4 cot⁡ α = -4/3 sec⁡ α = 5/4 csc⁡ α = -5/3