Question

4sin^2x+4sinx+1=0 Решить тригонометрическое уравнение

Answer 1

4sin²x+4sinx+1 = 0

(2sinx+1)² = 0

2sinx+1 = 0

2sinx = -1

sin x = -1/2

x = (-1)ⁿ•(-π/6) + πn

x = (-1)^(n+1) π/6 + πn, n€Z

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения мы можем воспользоваться заменой переменной. Обозначим $y = \sin x$, тогда уравнение примет вид:

$4y^2 + 4y + 1 = 0.$

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью квадратного трёхчлена или квадратного корня:

4y^2 + 4y + 1 &= 0 \\ (2y + 1)^2 &= 0 \\ 2y + 1 &= 0 \\ y &= -\frac{1}{2}. \end{align*}\] Теперь мы знаем, что \(\sin x = -\frac{1}{2}\). Для такого значения синуса угла \(x\) могут быть два угла в стандартном интервале \([0, 2\pi)\), которые удовлетворяют данному условию: \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{7\pi}{6}\). Итак, решения уравнения \(\sin x = -\frac{1}{2}\) это \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\) и \(x = -\frac{7\pi}{6} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.