Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения 2y''+y'-10y=x^2

Answer 1

Ответ:

решение на фотографиях

Answer 2

Для того чтобы найти общее решение данного дифференциального уравнения второго порядка, мы сначала найдем характеристическое уравнение и его корни.

Данное уравнение выглядит следующим образом: $2y'' + y' - 10y = x^2.$

Сначала найдем общее решение соответствующего однородного уравнения: $2y'' + y' - 10y = 0.$

Характеристическое уравнение: $2r^2 + r - 10 = 0.$

Решим это квадратное уравнение для нахождения корней $r$: $2r^2 + r - 10 = 0.$

Применим квадратное уравнение: $r = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 80}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{-1 \pm 9}{4}.$

Таким образом, имеем два корня $r_1 = 2$ и $r_2 = -\frac{5}{2}$. Теперь мы можем записать общее решение однородного уравнения: $y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-\frac{5}{2}x},$ где $C_1$ и $C_2$ - произвольные постоянные.

Далее, используем метод вариации постоянных, чтобы найти частное решение неоднородного уравнения: $2y'' + y' - 10y = x^2.$

Предположим, что частное решение имеет вид $y_p(x) = ax^2 + bx + c$, где $a$, $b$ и $c$ - неизвестные коэффициенты.

Подставляем это предположение в исходное уравнение и находим производные: $y_p''(x) = 2a,$ $y_p'(x) = 2ax + b.$

Подставляя в уравнение и упрощая, получаем: $2(2a) + (2ax + b) - 10(ax^2 + bx + c) = x^2.$

Раскроем скобки и сгруппируем по степеням $x$: $4a + 2ax + b - 10ax^2 - 10bx - 10c = x^2.$

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $x$, получаем систему уравнений:

4a + b = 0, \\ 2a - 10b = 1, \\ -10c = 0. \end{cases}\] Решая эту систему, находим \(a = \frac{1}{20}\), \(b = -\frac{1}{5}\) и \(c = 0\). Таким образом, частное решение: \[y_p(x) = \frac{1}{20}x^2 - \frac{1}{5}x.\] Так как общее решение неоднородного уравнения состоит из общего решения однородного уравнения и частного решения, окончательно общее решение будет: \[y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-\frac{5}{2}x} + \frac{1}{20}x^2 - \frac{1}{5}x.\] где \(C_1\) и \(C_2\) - произвольные постоянные.