Question

Написати рівняння параболи яким має дійсну а(5) та проходить через точку А(5корень2;2). Знайти фокальну відстань та ексцентриситет. Побудовати гіперболу

Answer 1

Будем считать, что требуется определить уравнение гиперболы.

Её каноническое уравнение (x²/a²) - (y²/b²) = 1.

Используем исходные данные: а = 5 и точка А(5√2; 2).

Подставим эти данные в уравнение.

(((5√2)²)/5²) - (2²/b²) = 1.

(50/25) - (4/b²) = 1.

50b² - 25b² = 25*4.

25b² = 100.

b² = 100/25 = 4.

b = 2.

Ответ: уравнение гиперболы (x²/5²) - (y²/2²) = 1.

Answer 2

Рівняння параболи має вигляд: $y = a(x - h)^2 + k,$ де $(h, k)$ - координати вершини параболи, а $a$ - параметр, який визначає відкритість та напрямок параболи.

Оскільки парабола проходить через точку $A(\sqrt{2}k; 2)$, підставимо ці координати у рівняння параболи: $2 = a(\sqrt{2}k - h)^2 + k.$ Далі, оскільки парабола також має дійсну асимптоту при $x = 5$, то в цій точці $x = 5$, $y$ також повинно бути рівним 5: $5 = a(5 - h)^2 + k.$

Отримали систему рівнянь:

2 &= a(\sqrt{2}k - h)^2 + k, \\ 5 &= a(5 - h)^2 + k. \end{align*}\] Розв'яжемо цю систему відносно \(a\), \(h\) та \(k\). Віднімемо друге рівняння від першого: \[2 - 5 = a(\sqrt{2}k - h)^2 + k - a(5 - h)^2 - k,\] \[-3 = a(\sqrt{2}k - h)^2 - a(5 - h)^2,\] \[-3 = a(2k^2 - 2\sqrt{2}kh + h^2 - 25 + 10h - h^2),\] \[-3 = -2\sqrt{2}ahk + 10ah,\] \[3 = 2\sqrt{2}ahk - 10ah.\] Тепер відокремимо \(a\) у правій частині: \[a(2\sqrt{2}hk - 10h) = 3,\] \[a = \frac{3}{2\sqrt{2}hk - 10h}.\] Підставимо значення \(a\) в одне з вихідних рівнянь, наприклад, в рівняння \(5 = a(5 - h)^2 + k\), та вирішимо відносно \(k\): \[5 = \frac{3}{2\sqrt{2}hk - 10h} \cdot (5 - h)^2 + k.\] З цього рівняння можна знайти значення параметра \(k\). Однак, обчислення цих значень доволі складні та тривалі. Якщо ви хочете точні значення, вам може знадобитися обчислювальний інструмент або програма для символьних обчислень. Щодо побудови гіперболи, я потребую більше інформації про її параметри (наприклад, фокусну відстань, ексцентриситет, положення фокусів тощо). Будь ласка, надайте більше деталей, і я допоможу вам побудувати гіперболу.