Question

Найдите наименьшее значение параметра b, при котором график функции y=2x^2+bx+c проходит через точку (0,2) и касается оси Ox.

Answer 1

Если график функции проходит через точку (0; 2), то  f(0) = 2, т.е.

$2\cdot0^2+b\cdot0+c=2\Rightarrow c=2$

График функции - парабола, ветви которой направлены вверх. Пусть (х₀; у₀) - вершина параболы. Парабола будет касаться оси абсцисс, если ордината ее вершины будет равна 0

Найдем координаты вершины по соответствующим формулам:

$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{4};$

$y_0=f(x_0)=2\cdot(-\frac{b}{4})^2 -b\cdot\frac{b}{4}+2=2\cdot\frac{b^2}{16}-\frac{b^2}{4}+2=\frac{2b^2-4b^2}{16}+2=-\frac{2b^2}{16}+2=-\frac{b^2}{8}+2$

$-\frac{b^2}{8}+2= 0$

$b^2=16\Rightarrow b=\pm4$

Наименьшее значение параметра - b = -4.

ОТВЕТ: -4.

Answer 2

Чтобы график функции y = 2x^2 + bx + c проходил через точку (0,2), подставим x = 0 и y = 2 в уравнение функции:

2 = 2(0)^2 + b(0) + c 2 = c

Таким образом, мы получили, что c = 2.

Чтобы график касался оси Ox, у функции должен быть корень с кратностью 2. Это означает, что дискриминант квадратного уравнения должен быть равен нулю.

Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. Подставим значения a = 2 и c = 2 в формулу:

D = b^2 - 4(2)(2) D = b^2 - 16

Так как D должен быть равен нулю, уравнение примет вид:

b^2 - 16 = 0

Решая это уравнение, получим:

b^2 = 16 b = ±4

Таким образом, наименьшее значение параметра b, при котором график функции y = 2x^2 + bx + c проходит через точку (0,2) и касается оси Ox, равно -4.