Question

Дан клетчатый прямоугольник высоты 4 и ширины 22. Вася красит какой-тогоризонтальный прямоугольник 1×3 клетки, а Петя красит какой-то вертикальныйпрямоугольник 3×1 клетки. Найдите вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды. ​

Answer 1

Пусть, горизонтальный прямоугольник уже размещен. Тогда, искомая вероятность - вероятность того, что вертикальный прямоугольник будет пересекать горизонтальный. Заметим, что пересечение возможно только в одной клетке.

Рассмотрим две ситуации.

1. Горизонтальный прямоугольник лежит в крайней (верхней или нижней) строке. Так как всего строк 4, то это может произойти с вероятностью $\dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}$. Найдем общее число возможных расположений вертикального прямоугольника и число расположений, при которых он пересекается с горизонтальным.

Так как высота вертикального прямоугольника 3, а высота исходного прямоугольника 4, то в каждом столбце вертикальный прямоугольник моет располагаться двумя способами. Таким образом, общее число расположений вертикального прямоугольника равно $2\cdot22=44$.

Вертикальный прямоугольник будет пересекаться с горизонтальным в 3 случаях: если он будет располагаться в одном из столбцов, через которые проходит горизонтальный прямоугольник и примыкать к соответствующей крайней строке. Значит, число расположений вертикального прямоугольника, при которых он пересекается с горизонтальным, равно 3.

Учитывая вероятность появления этой ситуации, получим, что пересечение в этой ситуации происходит с вероятностью $\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{3}{44}$.

2. Горизонтальный прямоугольник не лежит в крайней строке. Таких строк тоже 2, значит произойти это может также с вероятностью $\dfrac{2}{4} =\dfrac{1}{2}$.

Общее число расположений вертикального прямоугольника по-прежнему равно $2\cdot22=44$.

Вертикальный прямоугольник будет пересекаться с горизонтальным, если он будет располагаться в одном из столбцов, через которые проходит горизонтальный прямоугольник, причем располагаться в конкретном столбце он может любым из двух возможных способов. Значит, число расположений вертикального прямоугольника, при которых он пересекается с горизонтальным, равно $3\cdot2=6$.

Учитывая вероятность появления этой ситуации, получим, что пересечение в этой ситуации происходит с вероятностью $\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{6}{44}$.

Рассмотренные ситуации не совместны, так как горизонтальный прямоугольник не может располагаться в двух строках одновременно. Значит, соответствующие вероятности необходимо складывать:

$P(A)=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{3}{44} +\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{6}{44}=\dfrac{1}{2} \cdot\dfrac{9}{44}=\dfrac{9}{88}$

Ответ: 9/88

Answer 2

Для нахождения вероятности того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды, давайте рассмотрим возможные варианты расположения красок и посчитаем количество таких вариантов.

Обозначим клетки следующим образом:

• "В" для вертикальной краски Пети.
• "Г" для горизонтальной краски Васи.
• "." для незакрашенной клетки.

Для горизонтальной краски Васи (1×3) есть 20 возможных позиций в ряду (22 - 3 + 1 = 20). Для вертикальной краски Пети (3×1) есть 2 возможных позиции в каждой строке (4 - 1 + 1 = 4).

Теперь рассмотрим два случая:

1. Вертикальная краска Пети покрывает клетку, которую затем покрывает горизонтальная краска Васи:

   • Петя: "В.."
   • Вася: "ГГГ" В этом случае есть 20 * 4 = 80 комбинаций.

2. Горизонтальная краска Васи покрывает клетку, которую затем покрывает вертикальная краска Пети:

   • Петя: "Г" "Г" "Г"
   • Вася: "..."

В этом случае есть 20 * 4 = 80 комбинаций.

Таким образом, общее количество способов, при которых хотя бы одна клетка будет покрашена дважды, составляет 80 + 80 = 160.

Всего возможных способов покрасить клетчатый прямоугольник: 22 * 4 = 88.

Таким образом, вероятность того, что хотя бы одна клетка будет покрашена дважды, составляет 160 / 88 ≈ 1.8182, что можно округлить до около 0.0182 или примерно 1.82%.