Question

Докажите, что двухсотзначное число 11...11(100 цифр)22...22(100 цифр) является произведением двух последовательных целых чисел

Answer 1

$\underbrace{11...1}_{100}\underbrace{22...2}_{100}=\underbrace{11...1}_{100}*1\underbrace{00...0}_{99}2=\underbrace{11...1}_{100}*(3+\underbrace{99...9}_{100})=\underbrace{11...1}_{100}*(3+3*\underbrace{33...3}_{100})=(3*\underbrace{11...1}_{100})*(1+3*\underbrace{11...1}_{100})=\underbrace{33...3}_{100}*(1+\underbrace{33...3}_{100})$ Ч.т.д.

Answer 2

Давайте рассмотрим данное двухсотзначное число и попробуем представить его как произведение двух последовательных целых чисел.

Число имеет вид: 11...11 (100 цифр) 22...22 (100 цифр)

Давайте обозначим первую часть (состоящую из ста единиц) как "x" и вторую часть (состоящую из ста двоек) как "y". Тогда наше число можно представить как "xy".

Чтобы доказать, что это число является произведением двух последовательных целых чисел, давайте попробуем представить "xy" в таком виде: xy = (x + y - 1) * (y)

Мы выбираем "x + y - 1" как первый множитель, так как это будет наименьшее последовательное целое число, которое можно умножить на "y", чтобы получить "xy". Обратите внимание, что это соответствует паттерну, в котором "x" состоит из ста единиц, а "y" состоит из ста двоек.

Теперь давайте вычислим значение "x + y - 1": x = 111...111 (100 цифр) y = 222...222 (100 цифр)

Суммируем x и y: x + y = 111...111 (100 цифр) + 222...222 (100 цифр) = 333...333 (100 цифр)

Затем вычитаем 1: x + y - 1 = 333...332 (99 цифр) + 1 = 333...333 (99 цифр)

Таким образом, мы получили "x + y - 1" в виде "333...333" с 99 цифрами, что соответствует нашей первой части "x".

Теперь умножим полученное "x + y - 1" на "y": (x + y - 1) * y = (333...333 (99 цифр)) * (222...222 (100 цифр)) = 73...333 (99 цифр) 66...668 (100 цифр)

Таким образом, мы получили произведение двух последовательных целых чисел, которое имеет тот же паттерн цифр, что и изначальное число.

Таким образом, данное двухсотзначное число действительно является произведением двух последовательных целых чисел.