Question

Sin(x)*(1+cos(x))-1-cos(x)-cos(x)^2=0 Помогите с решением уравнения)

Answer 1

$\displaystyle sin(x)*(1+cos(x))-1-cos(x)-cos^2(x)=0\\(1+cos(x))(sin(x)-1)+sin^2(x)-1=0\\(sin(x)-1)(cos(x)+sin(x)+2)=0\\\left[\begin{gathered}sin(x)=1\\cos(x)+sin(x)+2=0\end{gathered}$

$\displaystyle sin(x)=1\\x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z$

$\displaystyle cos(x)+sin(x)+2=0\\sin(x)=\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg(\frac{x}{2})};cos(x)=\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}\\\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}+\frac{2tg(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}+2=0\\\frac{1-tg^2(\frac{x}{2})+2tg(\frac{x}{2})+2+2tg^2(\frac{x}{2})}{1+tg^2(\frac{x}{2})}=0\\\frac{tg^2(\frac{x}{2})+2tg(\frac{x}{2})+3}{1+tg^2(\frac{x}{2})}=0\\tg^2(\frac{x}{2})+2tg(\frac{x}{2})+3=0\\D=b^2-4ac=4-4*3=-8$

Решений нет.

Другой вариант решения данного уравнения: видно что уравнение возможно если:

$\displaystyle \begin{cases}cos(x)=-1\to x=\pi+2\pi n;n\in Z\\sin(x)=-1\to x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n;n\in Z\end{cases}$

Однако, как видно, нет таких х, при которых одновременно и sin(x) и cos(x) равны -1.

Ответ:

$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}+2\pi n;n\in Z$

Answer 2

Давайте решим данное уравнение. Вначале преобразуем его:

sin(x) * (1 + cos(x)) - 1 - cos(x) - cos(x)^2 = 0

Распишем квадрат косинуса:

sin(x) * (1 + cos(x)) - 1 - cos(x) - (cos(x))^2 = 0

Раскроем скобки:

sin(x) + sin(x) * cos(x) - 1 - cos(x) - (cos(x))^2 = 0

Теперь объединим похожие слагаемые:

sin(x) * cos(x) - cos(x)^2 + sin(x) - cos(x) - 1 = 0

Также можно переписать cos(x)^2 как (1 - sin(x)^2):

sin(x) * cos(x) - (1 - sin(x)^2) + sin(x) - cos(x) - 1 = 0

Упростим уравнение:

sin(x) * cos(x) - 1 + sin(x)^2 + sin(x) - cos(x) - 1 = 0

sin(x) * cos(x) + sin(x)^2 + sin(x) - cos(x) - 2 = 0

Теперь сгруппируем слагаемые:

sin(x)^2 + sin(x) + sin(x) * cos(x) - cos(x) - 2 = 0

sin(x)^2 + 2sin(x) + sin(x) * cos(x) - 3sin(x) - cos(x) - 2 = 0

(sin(x)^2 + 2sin(x) - 3sin(x)) + (sin(x) * cos(x) - cos(x)) - 2 = 0

sin(x) * (sin(x) + 2 - 3) + cos(x) * (sin(x) - 1) - 2 = 0

(sin(x) - 1) * (sin(x) + 3) + cos(x) * (sin(x) - 1) - 2 = 0

(sin(x) - 1) * (sin(x) + 3 + cos(x)) - 2 = 0

Теперь разделим обе части на (sin(x) - 1):

(sin(x) + 3 + cos(x)) - 2 / (sin(x) - 1) = 0

(sin(x) + 3 + cos(x)) = 2 / (sin(x) - 1)

Теперь уравнение приведено к более простому виду:

sin(x) + cos(x) + 3 = 2 / (sin(x) - 1)

В таком виде уравнение решить аналитически сложно. Для нахождения численного решения можно воспользоваться численными методами, такими как метод Ньютона или метод половинного деления. Эти методы позволяют найти приближенное решение уравнения.