Question

Пр4) Найдите наибольшую площадь (м^2) земельного участка прямоугольной формы , который можно огородить забором длиной 360 м . ( применяя производную) Спасибо!​

Answer 1

Сумма длин двух сторон этого прямоугольника равна 180 м. Пусть длина одной стороны равна $x$. Тогда длина второй равна $180-x$. Площадь участка равна произведению длин сторон: $S=x(180-x)$. Рассмотрим эту площадь как функцию, найдём её производную и экстремум:

$f(x)=x(180-x)=180x-x^2\\f'(x)=180-2x$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти экстремум:

$f'(x)=180-2x=0\\180=2x\\x=90$

Методом интервалов (см. иллюстрацию) устанавливаем, что при прохождении через точку $x=90$ производная меняет знак с плюса на минус. Это значит, что $x=90$ — точка максимума.

Это означает, что длины сторон этого прямоугольника должны быть равны, то есть это квадрат со стороной длиной 90 м.  Его площадь равна $90^2=8\,100$ м²

Ответ: 8 100 м²

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться производной. Площадь прямоугольника можно выразить как произведение его длины (L) и ширины (W): S = L * W.

В данной задаче у нас есть ограничение на периметр забора, который равен 360 метрам: 2L + 2W = 360.

Мы можем выразить одну из переменных через другую из этого ограничения. Допустим, мы выразим L через W: L = 180 - W.

Теперь мы можем выразить площадь S только через одну переменную W, используя наше выражение для L: S = (180 - W) * W.

Теперь давайте найдем производную площади S по переменной W и приравняем ее к нулю, чтобы найти максимум площади: dS/dW = 180 - 2W.

Теперь приравняем это к нулю и решим уравнение: 180 - 2W = 0.

2W = 180, W = 180 / 2, W = 90.

Таким образом, ширина прямоугольника должна быть равна 90 метрам.

Теперь мы можем найти длину L, используя наше исходное выражение: L = 180 - W, L = 180 - 90, L = 90 метров.

Теперь у нас есть размеры прямоугольника: ширина 90 м и длина 90 м.

Наконец, найдем площадь прямоугольника, используя эти значения: S = L * W, S = 90 м * 90 м, S = 8100 м².

Итак, наибольшая площадь земельного участка прямоугольной формы, который можно огородить забором длиной 360 метров, равна 8100 м².