Question

Числитель и знаменатель некоторой дроби – натуральные числа, причем знаменатель на 4 больше числителя. Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое. Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое. Найдите эту дробь. Подробное решение выполняется на отдельном листе бумаги, фотографируется (сканируется), файл прикрепляется для проверки.

Answer 1

$\frac{x}{x+4}$  - данная дробь, знаменатель на 4 больше числителя.

 Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то получим

$\frac{x+6}{(x+4)+4}=\frac{x+6}{x+8}$,

то дробь   $\frac{x+6}{x+8}$   возрастает менее чем вдвое  по сравнению с дробью $\frac{x}{x+4}$

$1$

Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1,

$\frac{x+8}{(x+4)+1}=\frac{x+9}{x+5}$

то дробь  $\frac{x+9}{x+5}$  увеличивается более чем втрое  по сравнению дробью $\frac{x}{x+4}$

$\frac{x+9}{x+5}: \frac{x}{x+4} >3$

Решаем систему:  x≠-4

$\left \{ {{1 < \frac{(x+6)(x+4)}{(x+8)x}3}} \right.$            $\left \{ {{1 < \frac{x^2+6x+4x+24}{x^2+8x}3}} \right.$      

$\left \{ {{ \frac{x^2+6x+4x+24-2x^2-16x}{x^2+8x}0} \atop {\frac{x^2+9x+4x+36-3x-15x}{x^2+5x} >0}}} \right.$        

$\left \{ {{ \frac{-x^2-6x+24}{x^2+8x}0} \atop {\frac{-2x^2-2x+36}{x^2+5x} >0}}} \right.$  

$x^2+6x-24=0$

D=132

$x=\frac{-6\pm2\sqrt{33}}{2}=-3\pm\sqrt{33}$

$2x^2+2x-36=0$

$x^2+x-18=0$

D=1+72

$x=\frac{-1\pm\sqrt{73}}{2}$

$-3+\sqrt{33} < \frac{-1+\sqrt{73}}{2}$

При x=3  получим дробь $\frac{3}{7}$

которая удовлетворяет указанным условиям

При x=3  получим дробь $\frac{3}{7}$

которая удовлетворяет указанным условиям

 Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то получим

$\frac{3+6}{7+4}=\frac{9}{11}$,      $\frac{9}{11}: \frac{3}{7}=\frac{63}{33}$,  $1$

Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1,

$\frac{3+8}{7+1}=\frac{11}{8}$

то дробь    увеличивается более чем втрое  по сравнению дробью  

$\frac{11}{8}: \frac{3}{7}=\frac{77}{24} =3\frac{5}{24}$

Answer 2

Давайте обозначим числитель как $x$, а знаменатель как $y$. У нас есть несколько условий:

1. $y = x + 4$ (знаменатель на 4 больше числителя).

2. Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое. Математически это можно записать как $\frac{x + 6}{y + 4} < 2$.

3. Если числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое. Математически это можно записать как $\frac{x + 8}{y + 1} > 3$.

Теперь мы можем использовать эти условия для нахождения $x$ и $y$. Давайте начнем с первого условия:

Из первого условия $y = x + 4$, мы можем выразить $x$ через $y$:

$x = y - 4$

Теперь подставим это выражение для $x$ во второе и третье условия:

2. $\frac{y - 4 + 6}{y + 4} < 2$

3. $\frac{y - 4 + 8}{y + 1} > 3$

Решим каждое из них по очереди:

2. $\frac{y + 2}{y + 4} < 2$

Умножим обе стороны на $y + 4$ для избавления от дроби:

$y + 2 < 2(y + 4)$

Раскроем скобки:

$y + 2 < 2y + 8$

Теперь выразим $y$:

$2y - y < 8 - 2$

$y < 6$

3. $\frac{y + 4}{y + 1} > 3$

Умножим обе стороны на $y + 1$:

$y + 4 > 3(y + 1)$

Раскроем скобки:

$y + 4 > 3y + 3$

Теперь выразим $y$:

$3y - y < 4 - 3$

$2y < 1$

$y < \frac{1}{2}$

Таким образом, мы получили два неравенства:

$y < 6$ $y < \frac{1}{2}$

Самое большое значение, которое удовлетворяет обоим неравенствам, это $y = \frac{1}{2}$.

Теперь, когда мы знаем значение $y$, мы можем найти значение $x$ с использованием первого условия:

$x = y - 4 = \frac{1}{2} - 4 = -\frac{7}{2}$

Таким образом, дробь равна $\frac{x}{y} = \frac{-\frac{7}{2}}{\frac{1}{2}} = -7 \cdot 2 = -14$.

Итак, искомая дробь равна $-14$.