Question

Докажите что число (2^1997-1)*(2^1997+1) кратно 3​

Answer 1

Пошаговое объяснение:

(2^1997-1)(2^1997+1)=(2^1997)^2-1 (разность квадратов). Так как 2^1997 не делится на 3, то (2^1997)^2 ≡ 1 (mod 3). У квадратов остатки по модулю 3 либо 0, либо 1; так как 0^2=0; 1^2=1; 2^2=4≡1 Тогда (2^1997)^2-1 делится на 3, значит (2^1997-1)*(2^1997+1) делится на 3

Второй вариант, рассмотрим число 2^1997+1: 2^1997≡(-1)^1997 (mod 3) = -1, Значит 2^1997+1 делится на 3, значит (2^1997-1)*(2^1997+1) кратно 3​

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (2^1997 - 1) * (2^1997 + 1) кратно 3, давайте рассмотрим два случая:

1. Первый множитель (2^1997 - 1):

   2^1997 - 1 является разностью степени числа 2 и 1, что представляется как сумма степеней:

   2^1997 - 1 = (2^998)^2 - 1^2

   Можем применить формулу разности квадратов: a^2 - b^2 = (a + b)(a - b), где в данном случае a = 2^998 и b = 1:

   2^1997 - 1 = (2^998 + 1)(2^998 - 1)

   Заметим, что (2^998 - 1) также представляет разность степеней числа 2 и 1:

   2^998 - 1 = (2^499)^2 - 1^2

   И снова можем применить формулу разности квадратов:

   2^998 - 1 = (2^499 + 1)(2^499 - 1)

   Продолжая этот процесс, мы видим, что каждый раз, когда мы вычитаем 1 из степени числа 2, мы получаем разность квадратов. И таким образом:

   2^1997 - 1 = (2^998 + 1)(2^998 - 1) = (2^499 + 1)(2^499 - 1) = ... = (2^2 + 1)(2^2 - 1)

   Теперь разберемся с каждым из этих множителей:

   • (2^2 + 1) = 5
   • (2^2 - 1) = 3

   Итак, мы видим, что каждый множитель в этой длинной цепочке разностей квадратов равен 3 или кратен 3.

2. Второй множитель (2^1997 + 1):

   Для доказательства, что (2^1997 + 1) также кратно 3, рассмотрим остатки при делении степени числа 2 на 3:

   2^0 mod 3 = 1 2^1 mod 3 = 2 2^2 mod 3 = 1 2^3 mod 3 = 2 ...

   Мы видим, что степени числа 2 чередуются между 1 и 2 при делении на 3. Теперь рассмотрим степень 2^1997:

   1997 = 2 * 998 + 1

   Таким образом, 2^1997 при делении на 3 дает остаток 2.

   Теперь вернемся к изначальному выражению: (2^1997 - 1) * (2^1997 + 1). Мы доказали, что оба множителя (2^1997 - 1) и (2^1997 + 1) кратны 3. Таким образом, их произведение также будет кратно 3.

Таким образом, выражение (2^1997 - 1) * (2^1997 + 1) действительно кратно 3.